Cho x,y thỏa mãn điều kiện: 3xy−9+yx−9=xy. Tính giá trị của biểu thức:S=x−172018+y−192019

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức ab≤a2+b22 ∀a,b để chứng minh VT≥VP. Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được x, y. Cách giải ĐKXĐ:x−9≥0y−9≥0⇒x≥9y≥9 Ta có: 3xy−9+yx−9=3xy−9+3yx−9=3x.x.y−9+3y.y.x−9=3x.xy−9x+3y.xy−9y=9x.xy−9x+9y.xy−9y Với mọi a,b ta có: a−b2≥0⇒a2+b2−2ab≥0⇒2ab≤a2+b2⇒ab≤a2+b22 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a−b2=0⇒a=b ⇒9x.xy−9x≤9x+xy−9x2=xy29y.xy−9y≤9y+xy−9y2=xy2⇒9x.xy−9x+9y.xy−9y≤xy2+xy2=xy⇒VT≤VP Mà theo đề bài VT=VP nên dấu “=” xảy ra ⇒9x=xy−9x9y=xy−9y⇒9x=xy−9x9y=xy−9y⇒xy−18=0yx−18=0⇒x=y=18do x≥9,y≥9⇒S=x−172018+y−192019=18−172018+18−192019=1−1=0. Vậy S=0.

Câu hỏi:

13/02/2023 117

Cho x,y thỏa mãn điều kiện: $3 (x \sqrt{y - 9} + y \sqrt{x - 9}) = x y .$ Tính giá trị của biểu thức: $S = {(x - 17)}^{2018} + {(y - 19)}^{2019}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức $a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \forall a, b$ để chứng minh $V T \geq V P .$

Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được x, y.

Cách giải

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x - 9 \geq 0 \\ y - 9 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \geq 9 \\ y \geq 9 \end{cases}$

Ta có:

$3 (x \sqrt{y - 9} + y \sqrt{x - 9}) = 3 x \sqrt{y - 9} + 3 y \sqrt{x - 9} = 3 \sqrt{x} . \sqrt{x} . \sqrt{y - 9} + 3 \sqrt{y} . \sqrt{y} . \sqrt{x - 9} = 3 \sqrt{x} . \sqrt{x y - 9 x} + 3 \sqrt{y} . \sqrt{x y - 9 y} = \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} + \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y}$

Với mọi $a, b$ ta có: ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \Rightarrow 2 a b \leq a^{2} + b^{2} \Rightarrow a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${(a - b)}^{2} = 0 \Rightarrow a = b$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} \leq \frac{9 x + x y - 9 x}{2} = \frac{x y}{2} \\ \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y} \leq \frac{9 y + x y - 9 y}{2} = \frac{x y}{2} \end{cases} \Rightarrow \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} + \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y} \leq \frac{x y}{2} + \frac{x y}{2} = x y \Rightarrow V T \leq V P$

Mà theo đề bài $V T = V P$ nên dấu “=” xảy ra

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{9 x} = \sqrt{x y - 9 x} \\ \sqrt{9 y} = \sqrt{x y - 9 y} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 9 x = x y - 9 x \\ 9 y = x y - 9 y \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x (y - 18) = 0 \\ y (x - 18) = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y = 18 (d o x \geq 9, y \geq 9) \Rightarrow S = {(x - 17)}^{2018} + {(y - 19)}^{2019} = {(18 - 17)}^{2018} + {(18 - 19)}^{2019} = 1 - 1 = 0.$

Vậy $S = 0.$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Hệ số góc của đường thẳng y=-2x-1 là:

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2.

Xem đáp án » 12/02/2023 5,202

Câu 2:

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Xác định giá trị của m để đường thẳng y=2x-4 cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,259

Câu 3:

Tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC=4cm. Khi đó cosC có giá trị bằng:

A. $\frac{3}{4}$

B.

\frac{4}{3}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{4}{5} .

Xem đáp án » 12/02/2023 1,799

Câu 4:

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Vẽ đồ thị của hàm số trên với m=3

Xem đáp án » 12/07/2024 1,479

Câu 5:

Góc tạo bởi đường thẳng nào sau đây với trục Ox là nhỏ nhất?

A. $y = - x + 4$

B.

y = x + 3

C.

y = 3 x + 2

D.

y = 5 x - 1.

Xem đáp án » 12/02/2023 1,282

Câu 6:

Cho đường tròn $(O; R),$ đường kính $A B .$ Qua A vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R) .$ C là một điểm thuộc đường thẳng d. Qua C vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn $(O; R) .$ tiếp xúc với đường tròn $(O; R)$ tại điểm M. Gọi H là giao điểm của AM và OC

Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt CM tại D.Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R) .$

Xem đáp án » 12/07/2024 968

Câu 7:

Cho đường tròn $(O; R),$ đường kính $A B .$ Qua A vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn $(O; R) .$ C là một điểm thuộc đường thẳng d. Qua C vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn $(O; R) .$ tiếp xúc với đường tròn $(O; R)$ tại điểm M. Gọi H là giao điểm của AM và OC
Chứng minh các góc OBH và OCB bằng nhau.

Xem đáp án » 12/07/2024 685

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x,y thỏa mãn điều kiện: $3 (x \sqrt{y - 9} + y \sqrt{x - 9}) = x y .$ Tính giá trị của biểu thức: $S = {(x - 17)}^{2018} + {(y - 19)}^{2019}$

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số góc của đường thẳng y=-2x-1 là:

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Xác định giá trị của m để đường thẳng y=2x-4 cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.

Tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC=4cm. Khi đó cosC có giá trị bằng:

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Vẽ đồ thị của hàm số trên với m=3

Góc tạo bởi đường thẳng nào sau đây với trục Ox là nhỏ nhất?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho x,y thỏa mãn điều kiện: 3xy−9+yx−9=xy. Tính giá trị của biểu thức:S=x−172018+y−192019

Nhà sách VIETJACK:

Hệ số góc của đường thẳng y=-2x-1 là:

Cho hàm số y=2−mx+2 với m là tham số và m≠2, có đồ thị là đường thẳng d Xác định giá trị của m để đường thẳng y=2x-4 cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.

Tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC=4cm. Khi đó cosC có giá trị bằng:

Cho hàm số y=2−mx+2 với m là tham số và m≠2, có đồ thị là đường thẳng d Vẽ đồ thị của hàm số trên với m=3

Góc tạo bởi đường thẳng nào sau đây với trục Ox là nhỏ nhất?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x,y thỏa mãn điều kiện: $3 (x \sqrt{y - 9} + y \sqrt{x - 9}) = x y .$ Tính giá trị của biểu thức: $S = {(x - 17)}^{2018} + {(y - 19)}^{2019}$

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Xác định giá trị của m để đường thẳng y=2x-4 cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.

Cho hàm số $y = (2 - m) x + 2$ với m là tham số và $m \neq 2,$ có đồ thị là đường thẳng d

Vẽ đồ thị của hàm số trên với m=3