Tính tích phân: ∫0π24cos2x+3sin2xlncosx+2sinxdx.

Ta có: I=∫0π24cos2x+3sin2xlncosx+2sinxdx. =∫0π22cosx+2sinx2cosx−sinxlncosx+2sinxdx Đặt t=cosx+2sinx⇒dt=−sinx+2cosxdx.Với x=0 thì t=1.Với x=π2 thì t=2.Suy ra I=∫122tlntdt=∫12lntdt2=t2.lnt12−∫12tdt=4ln2−t2212=4ln2−32.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,539

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x

.

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 (\cos x + 2 \sin x) (2 \cos x - \sin x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x

Đặt

t = \cos x + 2 \sin x \Rightarrow d t = (- \sin x + 2 \cos x) d x

.
Với

x = 0

thì

t = 1

.
Với

x = \frac{π}{2}

thì

t = 2

.
Suy ra

I = \int_{1}^{2} 2 t \ln t d t = \int_{1}^{2} \ln t d (t^{2}) = {(t^{2} . \ln t)|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t d t = 4 \ln 2 - {\frac{t^{2}}{2}|}_{1}^{2} = 4 \ln 2 - \frac{3}{2}

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x}$ .

A.

\int f (x) d x = \ln |1 + 3 \cos x| + C

.

B.

\int f (x) d x = \frac{\ln |1 + 3 \cos x|}{3} + C

.

C.

\int f (x) d x = 3 \ln |1 + 3 \cos x| + C

.

D.

\int f (x) d x = - \frac{\ln |1 + 3 \cos x|}{3} + C

.

Xem đáp án » 14/02/2023 16,629

Câu 2:

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ có phương trình là

A.

6 x + 3 y + 2 x - 6 = 0

.

B.

6 x + 3 y + 2 x + 6 = 0

.

C.

x + 2 y + 3 x - 1 = 0

.

D.

\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0

.

Xem đáp án » 16/02/2023 8,754

Câu 3:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 3 x$

A.

- 3 cos 3 x + C

.

B.

3cos 3 x + C

.

C.

\frac{1}{3} cos 3 x + C

.

D.

- \frac{1}{3} cos 3 x + C

.

Xem đáp án » 12/02/2023 6,721

Câu 4:

Trong không gian Oxyz cho $m p (Q) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,715

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm $I (2; - 3; 7)$ và đi qua điểm $M (- 4; 0; 1)$ có phương trình là:

A.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 7 z + 19 = 0

.

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 6 y + 14 z - 19 = 0

.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 14 z - 19 = 0

.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 6 y + 14 z + 19 = 0

.

Xem đáp án » 16/02/2023 4,790

Câu 6:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x + 1)}^{2021}$ là

A.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{2022}}{2022} + C

.

B.

F (x) = 2 {(2 x + 1)}^{2022} + C

.

C.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{2022}}{4044} + C

.

D.

F (x) = {(2 x + 1)}^{2020} + C

.

Xem đáp án » 14/02/2023 4,589

Câu 7:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 \sin^{2} x$ là

A.

F (x) = 2 x + \sin 2 x + C

.

B.

F (x) = 2 x - \sin 2 x + C

.

C.

F (x) = 2 x + 2 \sin 2 x + C

.

D.

F (x) = 2 x - 2 \sin 2 x + C

.

Xem đáp án » 12/02/2023 4,142

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x$ .

Nhà sách VIETJACK:

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x}$ .

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ có phương trình là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 3 x$

Trong không gian Oxyz cho $m p (Q) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm $I (2; - 3; 7)$ và đi qua điểm $M (- 4; 0; 1)$ có phương trình là:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x + 1)}^{2021}$ là

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 \sin^{2} x$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Tính tích phân: ∫0π24cos2x+3sin2xlncosx+2sinxdx.

Nhà sách VIETJACK:

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số f x =sinx1+3cosx.

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A1;0;0, B0;2;0, C0;0;3 có phương trình là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=sin3x

Trong không gian Oxyz cho mpQ:2x+y−2z+1=0 và mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−2z−23=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I2 ;−3 ;7 và đi qua điểm M−4 ;0 ;1 có phương trình là:

Họ các nguyên hàm của hàm số f x = 2x+1 2021 là

Họ các nguyên hàm của hàm số f x =4sin2x là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x$ .

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x}$ .

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ có phương trình là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 3 x$

Trong không gian Oxyz cho $m p (Q) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm $I (2; - 3; 7)$ và đi qua điểm $M (- 4; 0; 1)$ có phương trình là:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x + 1)}^{2021}$ là

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 \sin^{2} x$ là