Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = {x^3} - m{x^2} + 2mx - m\) cắt đường thẳng \(y = 2 - x\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2 - x\) là

   \({x^3} - m{x^2} + 2mx - m = 2 - x \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m + 2 = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\).

Để \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2 - x\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình \(\left( * \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt dương khác \(1.\) Khi đó

            \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\\{{1^2} + \left( {1 - m} \right).1 + m + 2 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 4\left( {m + 2} \right) > 0}\\{m - 1 > 0}\\{m + 2 > 0}\\{4 \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 6m - 7 > 0}\\{m > 1}\\{m > - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 7}\\{m < - 1}\end{array}} \right.}\\{m > 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 7.\)

Vậy với \(m > 7\) thì \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2 - x\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.