Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Số giá trị nguyên $a$ thuộc đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$ sao cho $M \le 2m$ là

Lời giải

Chọn B

Xét $g\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a$ với $x \in \left[ {0;2} \right]$.

$g'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x = 4x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)$; $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

$g\left( 0 \right) = a$; $g\left( 1 \right) = 1 + a$; $g\left( 2 \right) = a$.

Bảng biến thiên $g\left( x \right)$

Trường hợp 1: $a \ge 0$. Khi đó $M = a + 1$; $m = a$.

Ta có $M \le 2m \Leftrightarrow 1 + a \le 2a \Leftrightarrow a \ge 1$. Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;3} \right]}\\{a \in Z}\end{array}} \right. \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}$.

Trường hợp 2: $a + 1 \le 0 \Leftrightarrow a \le - 1$. Khi đó $M = - a$; $m = - \left( {a + 1} \right)$.

Ta có $M \le 2m \Leftrightarrow - a \le - 2\left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow a \le - 2$. Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;3} \right]}\\{a \in Z}\end{array}} \right. \Rightarrow a \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}$.

Trường hợp 3: $- 1 < a < 0$. Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;3} \right]}\\{a \in Z}\end{array}} \right. \Rightarrow a \in \emptyset$.

Vậy có 5 giá trị $a$ cần tìm.