Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên R, bảng xét dấu của biểu thức $f^{\text{'}}\left(x\right)$ như bảng dưới đây.

Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{f\left(x^2-2x\right)}{f\left(x^2-2x\right)+1}$

Ta có $y=g\left(x\right)=\frac{f\left(x^2-2x\right)}{f\left(x^2-2x\right)+1}=1-\frac{1}{f\left(x^2-2x\right)+1}$ nên

$g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^{\text{'}}.f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)}{{\left[f\left(x^2-2x\right)+1\right]}^2}=\frac{\left(2x-2\right).f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)}{{\left[f\left(x^2-2x\right)+1\right]}^2}$. 

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}2x-2=0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x=-2\\ x^2-2x=-1\\ x^2-2x=3\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x+2=0\left(1\right)\\ x^2-2x+1=0\left(2\right)\\ x^2-2x-3=0\left(3\right)\end{array}\right.$

PT (1) vô nghiệm.

PT (2) có nghiệm kép  x=1 nên không phải là điểm cực trị.

PT (3) $\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}\right.$                                                                         (0.25đ)

Thay $x=0\in \left(-1;1\right)$ ta được $g^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{-2f\text{'}\left(0\right)}{{\left(f\left(0\right)+1\right)}^2}>0$ vì $f\text{'}\left(0\right)<0$

Ta có bảng xét dấu của  $g^{\text{'}}\left(x\right)$:

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y=g\left(x\right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;3\right)$.