Cho các số thực \(a,\,b,\,x > 0\) và \(b,\,x \ne 1\) thỏa mãn \({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \). Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}}\) khi \(a > b\)

A. 2

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{{10}}{{27}}\)

D. \(\frac{5}{4}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Phương pháp:

\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\)

Tính tỉ số \(\frac{a}{b}\)

Cách giải:

\({\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt a + {\log _x}\sqrt b \)

\( \Leftrightarrow {\log _x}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _x}\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{a + 2b}}{3} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow \frac{a}{b} - 3.\sqrt {\frac{a}{b}} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{a}{b}} = 1\\\sqrt {\frac{a}{b}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 1\\\frac{a}{b} = 4\end{array} \right.\)

Do \(a > b > 0\) nên \(\frac{a}{b} = 4\)

\(P = \left( {2{a^2} + 3ab + {b^2}} \right){\left( {a + 2b} \right)^{ - 2}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{a^2} + 4ab + 4{b^2}}} = \frac{{2{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 2.\frac{a}{b} + 1}}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 4.\frac{a}{b} + 4}}\)

\(P = \frac{{{{2.4}^2} + 3.4 + 1}}{{{4^2} + 4.4 + 4}} = \frac{{45}}{{36}} = \frac{5}{4}\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\) có nghiệm \(x \ge 1\)

A. \(m \in \left( { - \infty ;2} \right)\)

B. \(m \in \left( {2; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( {3; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;3} \right)\)

Lời giải

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi, đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\)

Cách giải:

\({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 1 = m\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).1 + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) - 2m = 0\)

Đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\), phương trình trở thành: \({t^2} + t = 2m = 0,\,\,t \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m,\,\,t \ge 2\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t,\,\,t \ge 2\) có: \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\,\forall t \ge 2 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\)