Xét các số thực a, b thỏa mãn \({\log _3}\left( {\frac{{1 - ab}}{{a + 2b}}} \right) = 3ab + a + 2b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + b\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t,\,\,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {3\left( {1 - ab} \right)} \right) = f\left( {a + 2b} \right) \Leftrightarrow 3 - 2ab = a + 2b\)

\(P = a + b \Rightarrow a = P - b \Rightarrow 3 - 3\left( {P - b} \right)b = P - b + 2b \Leftrightarrow \left( {3{b^2} - b} \right)\left( {3P + 1 + 3 - P} \right) = 0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {3P + 1} \right)^2} - 4.3.\left( {3 - P} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} + 18P - 35 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\\P \le \frac{{ - 3 - 2\sqrt {11} }}{3}\end{array} \right.\)

Do \(P = a + b \Rightarrow P > 0 \Rightarrow P \ge \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}\)