Câu hỏi:
24/02/2023 330
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Phương pháp:
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}},\,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)
Cách giải:
\(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{6}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + 1.\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \)
Phương trình đã cho tương đương với:
\({\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left( {\frac{1}{{1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017\)
Do \(\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = 1\) nên đặt \({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = t,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = \frac{1}{t}\)
\( \Rightarrow t + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{t} = 2017 \Leftrightarrow 2{t^2} - 4034t + \sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Giả sử \({t_1},\,{t_2}\) là nghiệm của phương trình (1). Theo Vi ét: \({t_1}{t_2} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
Khi đó:
\({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1}}}{{2017}}}}.{\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2017\)
Nhà sách VIETJACK:
Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7
Đã bán 1,3k
₫ 36.000
₫ 18.000
Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack
Đã bán 189
₫ 135.000
₫ 38.500
Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Xem đáp án »
24/02/2023
63,838
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án »
24/02/2023
24,233
Câu 3:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Xem đáp án »
24/02/2023
9,278
Câu 6:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Xem đáp án »
24/02/2023
4,720
Câu 7:
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Xem đáp án »
24/02/2023
3,435
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận