Câu hỏi:
24/02/2023 306
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Phương pháp:
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}},\,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)
Cách giải:
\(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{6}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + 1.\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \)
Phương trình đã cho tương đương với:
\({\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left( {\frac{1}{{1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017\)
Do \(\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = 1\) nên đặt \({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = t,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = \frac{1}{t}\)
\( \Rightarrow t + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{t} = 2017 \Leftrightarrow 2{t^2} - 4034t + \sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Giả sử \({t_1},\,{t_2}\) là nghiệm của phương trình (1). Theo Vi ét: \({t_1}{t_2} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
Khi đó:
\({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1}}}{{2017}}}}.{\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2017\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Xem đáp án »
24/02/2023
59,361
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án »
24/02/2023
18,879
Câu 3:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Xem đáp án »
24/02/2023
4,185
Câu 4:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Xem đáp án »
24/02/2023
3,953
Câu 6:
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Xem đáp án »
24/02/2023
3,306
Câu 7:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án »
24/02/2023
2,786
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!