Câu hỏi:
24/02/2023 294
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Cho phương trình \({\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\frac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D
Phương pháp:
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}},\,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)
Cách giải:
\(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{6}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + 1.\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \)
Phương trình đã cho tương đương với:
\({\left( {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left( {\frac{1}{{1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017\)
Do \(\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = 1\) nên đặt \({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = t,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = \frac{1}{t}\)
\( \Rightarrow t + \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{t} = 2017 \Leftrightarrow 2{t^2} - 4034t + \sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
Giả sử \({t_1},\,{t_2}\) là nghiệm của phương trình (1). Theo Vi ét: \({t_1}{t_2} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
Khi đó:
\({\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1}}}{{2017}}}}.{\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2017}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2017\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Xem đáp án »
24/02/2023
56,528
Câu 2:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Xem đáp án »
24/02/2023
4,033
Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án »
24/02/2023
3,927
Câu 4:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Xem đáp án »
24/02/2023
3,876
Câu 6:
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Xem đáp án »
24/02/2023
3,189
Câu 7:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án »
24/02/2023
2,653
về câu hỏi!