Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Gọi A, B là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có hoành độ lần lượt là \({x_A},\,{x_B}\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc dương. Tính \({x_A}{x_B}\).

Đáp án B

Phương pháp:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Cách giải:

Đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O \( \Rightarrow \) Đường thẳng AB có hệ số góc \(k = \pm 1\)

Mà \(k > 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB có dạng: \(y = x + m\,\,\,\left( d \right)\)

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau:

\( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow 3x_A^2 - 6{x_A} = 3x_B^2 - 6{x_B}\)

\( \Leftrightarrow x_A^2 - 2{x_A} - x_B^2 + 2{x_A} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_A} - {x_B}} \right)\left( {{x_A} + {x_B} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\left( L \right)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2\)

\({y_A} + {y_B} = \left( {x_A^3 - 3x_A^2 + 2} \right) + \left( {x_B^3 - 3x_B^2 + 2} \right)\)

\( = \left( {x_A^3 + x_B^3} \right) - 3\left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + 4\)

\( = {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^3} - 3.\left( {{x_A} + {x_B}} \right){x_A}{x_B} - 3\left( {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4\)

\( = 8 - 6{x_A}{x_B} - 3\left( {4 - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4 = 0\)

\( \Rightarrow \) AB có trung điểm \(I\left( {1;0} \right)\)

\(I \in d \Rightarrow 0 = 1 + m \Rightarrow m = - 1 \Rightarrow \left( d \right):y = x - 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

\({x^3} - 3{x^2} + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)