Câu hỏi:
24/02/2023 197
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Gọi A, B là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có hoành độ lần lượt là \({x_A},\,{x_B}\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc dương. Tính \({x_A}{x_B}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Gọi A, B là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có hoành độ lần lượt là \({x_A},\,{x_B}\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc dương. Tính \({x_A}{x_B}\).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)
Cách giải:
Đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O \( \Rightarrow \) Đường thẳng AB có hệ số góc \(k = \pm 1\)
Mà \(k > 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB có dạng: \(y = x + m\,\,\,\left( d \right)\)
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau:
\( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow 3x_A^2 - 6{x_A} = 3x_B^2 - 6{x_B}\)
\( \Leftrightarrow x_A^2 - 2{x_A} - x_B^2 + 2{x_A} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x_A} - {x_B}} \right)\left( {{x_A} + {x_B} - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\left( L \right)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2\)
\({y_A} + {y_B} = \left( {x_A^3 - 3x_A^2 + 2} \right) + \left( {x_B^3 - 3x_B^2 + 2} \right)\)
\( = \left( {x_A^3 + x_B^3} \right) - 3\left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + 4\)
\( = {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^3} - 3.\left( {{x_A} + {x_B}} \right){x_A}{x_B} - 3\left( {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4\)
\( = 8 - 6{x_A}{x_B} - 3\left( {4 - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4 = 0\)
\( \Rightarrow \) AB có trung điểm \(I\left( {1;0} \right)\)
\(I \in d \Rightarrow 0 = 1 + m \Rightarrow m = - 1 \Rightarrow \left( d \right):y = x - 1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
\({x^3} - 3{x^2} + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Mà \({x_A} + {x_B} = 2 \Rightarrow {x_A} = 3,\,\,\,{x_B} = - 1\) (giả sử \({x_A} > {x_B}\)) \( \Rightarrow {x_A}{x_B} = - 3\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Xem đáp án »
24/02/2023
56,528
Câu 2:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham só thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định:
Xem đáp án »
24/02/2023
4,033
Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,\,B\left( {2; - 1;1} \right)\). Tìm điểm C có hoành độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án »
24/02/2023
3,927
Câu 4:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 3x} \right)\)
Xem đáp án »
24/02/2023
3,876
Câu 6:
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
Xem đáp án »
24/02/2023
3,189
Câu 7:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 - {x^2}} }}{{{x^2} - 6x + 8}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án »
24/02/2023
2,653
về câu hỏi!