Câu hỏi:

24/02/2023 466

Cho tứ diện ABCD có $A B = A C = B D = C D = 1.$ Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}} .$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}} .$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=BD=CD=1 Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng (ảnh 1)

Đặt $B C = x; A D = y (x, y > 0) .$

Gọi lần lượt là trung điểm và

$Δ A B C$ cân tại A và $Δ D B C$ cân tại

$D \Rightarrow A H ⊥ B C, D H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A H D) \Rightarrow B C ⊥ H K .$

Mặt khác, $A H = D H \Rightarrow Δ H A D$ cân tại $H \Rightarrow A D ⊥ H K .$

Suy ra, $d (B C, A D) = H K .$

Ta có: $A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} \Rightarrow H K = \sqrt{A H^{2} - A K^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{2} .$

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} B C . S_{A H D} = \frac{1}{3} . B C . \frac{1}{2} . H K . A D = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta có:

$V_{A B C D} = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = \frac{1}{12} \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq \frac{1}{12} \sqrt{{(\frac{x^{2} + y^{2} + 4 - x^{2} - y^{2}}{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} .$

Dấu xảy ra $\Leftrightarrow x^{2} = y^{2} = 4 - x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Do đó: $V_{\max} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

Khi đó: $H K = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, $A C = 2 a \sqrt{3}$ , BD= 2a. Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD) . Biết khoảng cách từ tâm O đến ( SAB) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích của khối chóp $S . A B C D$ theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $V = a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Lời giải

Chọn C

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, AC= 2acăn 3 , BD= 2a. Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD) . (ảnh 1)

Vì $\{\begin{cases} (S A C) \cap (A B C D) \\ (S B D) \cap (A B C D) \\ (S A C) \cap (S B D) = S O \end{cases}$ nên $S O ⊥ (A B C D)$ .

Kẻ $O H ⊥ A B (H \in A B)$ , $O K ⊥ S H (K \in S H)$ .

Mà $\begin{matrix} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O K$ .

Do $O K ⊥ S H$ nên .

$O K ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O, (S A B)) = O K = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xét $Δ O A B$ vuông tại O, vì $O H ⊥ A B$ nên

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $Δ S O H$ vuông tại O, vì $O K ⊥ S H$ nên

$\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Leftrightarrow \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow S O = \frac{1}{2} a$

Diện tích mặt đáy ABCD là $S . A B C D = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = 2 a^{2} \sqrt{3}$ .

Thể tích hình chóp SABCD là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 2

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển $A B = 5 k m .$ Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $B C = 7 k m .$ Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M vị trí trên bờ biển với vận tốc $4 k m / h$ rồi đi bộ đến C với vận tốc $6 k m / h .$ Vị trí điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất ? ( xem hình vẽ).

A. 7km

B. $2 \sqrt{5} k m .$

C, $0 k m .$

D. $\frac{14 + 5 \sqrt{5}}{12} k m .$

Lời giải

Chọn B

Đặt $B M = x \Rightarrow M C = B C - B M = 7 - x$

Tam giác ABM vuông tại B , có $A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}} = \sqrt{x^{2} + 25}$

Thời gian đi từ A đến M là $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4}$ , thời gian đi từ M đến C là $\frac{7 - x}{6}$ .

Tổng thời gian đi từ A đến C là $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4} + \frac{7 - x}{6}$ .

Xét hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{4} + \frac{7 - x}{6}$ trên khoảng $(0; 7)$ , có $f^{'} (x) = \frac{x}{4 \sqrt{x^{2} + 25}} - \frac{1}{6} .$

Phương trình $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < 7 \\ 2 \sqrt{x^{2} + 25} = 3 x \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{5}$

$\min_{(0; 7)} f (x) = f (2 \sqrt{5}) .$

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $27 a^{3} .$

B. $\frac{3 a^{3}}{2} .$

C. $\frac{9 a^{3}}{2} .$

D. $9 a^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ nghịch biến trong khoảng nào?

A. $(- 2; 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(0; 2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi S là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x + 2 m - 3$ đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18.$ Tính tổng P của các giá trị nguyên của

A. P=1

B. P=-5

C. P=-4

D. $P = - \frac{3}{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp ABCNM.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{16} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{36} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{24} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp SABCD có đáy ABC là tam giác đều và có SA=SB=SC=1. Tính thể tích lớn nhất $V_{max}$ của khối chóp đã cho.

A. $V_{max} = \frac{1}{6}$

B. $V_{max} = \frac{1}{12}$

C. $V_{max} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

D. $V_{max} = \frac{\sqrt{3}}{12} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử