Câu hỏi:

24/02/2023 395

Cho tứ diện ABCD có $A B = A C = B D = C D = 1.$ Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}} .$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}} .$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=BD=CD=1 Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng (ảnh 1)

Đặt $B C = x; A D = y (x, y > 0) .$

Gọi lần lượt là trung điểm và

$Δ A B C$ cân tại A và $Δ D B C$ cân tại

$D \Rightarrow A H ⊥ B C, D H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A H D) \Rightarrow B C ⊥ H K .$

Mặt khác, $A H = D H \Rightarrow Δ H A D$ cân tại $H \Rightarrow A D ⊥ H K .$

Suy ra, $d (B C, A D) = H K .$

Ta có: $A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} \Rightarrow H K = \sqrt{A H^{2} - A K^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{2} .$

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} B C . S_{A H D} = \frac{1}{3} . B C . \frac{1}{2} . H K . A D = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta có:

$V_{A B C D} = \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = \frac{1}{12} \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq \frac{1}{12} \sqrt{{(\frac{x^{2} + y^{2} + 4 - x^{2} - y^{2}}{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} .$

Dấu xảy ra $\Leftrightarrow x^{2} = y^{2} = 4 - x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Do đó: $V_{\max} = \frac{2 \sqrt{3}}{27} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

Khi đó: $H K = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, $A C = 2 a \sqrt{3}$ , BD= 2a. Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD) . Biết khoảng cách từ tâm O đến ( SAB) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích của khối chóp $S . A B C D$ theo a.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

B. $V = a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Lời giải

Chọn C

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, AC= 2acăn 3 , BD= 2a. Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD) . (ảnh 1)

Vì $\{\begin{cases} (S A C) \cap (A B C D) \\ (S B D) \cap (A B C D) \\ (S A C) \cap (S B D) = S O \end{cases}$ nên $S O ⊥ (A B C D)$ .

Kẻ $O H ⊥ A B (H \in A B)$ , $O K ⊥ S H (K \in S H)$ .

Mà $\begin{matrix} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ S O \end{matrix}\} \Rightarrow A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O K$ .

Do $O K ⊥ S H$ nên .

$O K ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O, (S A B)) = O K = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xét $Δ O A B$ vuông tại O, vì $O H ⊥ A B$ nên

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $Δ S O H$ vuông tại O, vì $O K ⊥ S H$ nên

$\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Leftrightarrow \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow S O = \frac{1}{2} a$

Diện tích mặt đáy ABCD là $S . A B C D = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = 2 a^{2} \sqrt{3}$ .

Thể tích hình chóp SABCD là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $27 a^{3} .$

B. $\frac{3 a^{3}}{2} .$

C. $\frac{9 a^{3}}{2} .$

D. $9 a^{3} .$

Lời giải

Chọn B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng 60 độ . (ảnh 1)

Ta có: $\hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$

$A B = \frac{S A}{\tan 60 °} = \frac{3 a}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{1}{2} a \sqrt{3} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2}}{2} .$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} .3 a . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{3 a^{3}}{2} .$

Câu 3

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển $A B = 5 k m .$ Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $B C = 7 k m .$ Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M vị trí trên bờ biển với vận tốc $4 k m / h$ rồi đi bộ đến C với vận tốc $6 k m / h .$ Vị trí điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất ? ( xem hình vẽ).

A. 7km

B. $2 \sqrt{5} k m .$

C, $0 k m .$

D. $\frac{14 + 5 \sqrt{5}}{12} k m .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ nghịch biến trong khoảng nào?

A. $(- 2; 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(0; 2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi S là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x + 2 m - 3$ đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18.$ Tính tổng P của các giá trị nguyên của

A. P=1

B. P=-5

C. P=-4

D. $P = - \frac{3}{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp ABCNM.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{16} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{36} .$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{24} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Hình lập phương có đường chéo của một mặt bên bằng 4cm. Tính thể tích của khối lập phương đó.

A. $8 \sqrt{2} c m^{3}$

B. $8 c m^{3} .$

C. $16 \sqrt{2} c m^{3} .$

D. $2 \sqrt{2} c m^{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=BD=CD=1. Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, AC=2a3 , BD= 2a. Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy ( ABCD) . Biết khoảng cách từ tâm O đến ( SAB) bằng a34 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng 60° . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hàm số y=4−x2 nghịch biến trong khoảng nào?

Gọi S là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số y=13x3−m+1x2+m−2x+2m−3 đạt cực trị tại hai điểm x1,x2 thỏa mãn x12+x22=18. Tính tổng P của các giá trị nguyên của

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên đoạn SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp ABCNM.

Hình lập phương có đường chéo của một mặt bên bằng 4cm. Tính thể tích của khối lập phương đó.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD có $A B = A C = B D = C D = 1.$ Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = 3a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt đáy một góc bằng 60 $°$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ nghịch biến trong khoảng nào?

Gọi S là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x + 2 m - 3$ đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 18.$ Tính tổng P của các giá trị nguyên của