Câu hỏi:

26/02/2023 508

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, $S A = 2$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ . Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $A B, A D$ sao cho mặt phẳng $(S M C)$ vuông góc với mặt phẳng $(S N C)$ . Tính tổng $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ khi thể tích khối chóp $S . A M C N$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $T = 2$

B. $T = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

C. $T = \frac{5}{4}$

Đáp án chính xác

D. $T = \frac{13}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Gọi

E, F

lần lượt là giao điểm của BD với CM và CN. Gọi O là tâm hình vuông

A B C D

.
Theo giả thiết, ta có

B D ⊥ (S A C)

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

\Rightarrow S C ⊥ (H E F)

Vì

(S M C) ⊥ (S N C)

nên

H E ⊥ H F

\Rightarrow Δ H E F

vuông tại H có chiều cao OH.

\Rightarrow O E . O F = O H^{2}

Trong đó:

O H = O C . \sin \hat{S C A} = O C . \frac{S A}{S C} = \frac{2}{\sqrt{6}}

\Rightarrow O E . O F = \frac{2^{2}}{6} = \frac{2}{3}

(1).
Đặt

A M = x, (x > 0)

,

A N = y, (y > 0)

.
Xét

Δ A B C

, gọi K là trung điểm của AM.
Media VietJack

Khi đó:

O K // C M

\Rightarrow \frac{B E}{O E} = \frac{B M}{M K}

\Rightarrow \frac{O B - O E}{O E} = \frac{2 - x}{\frac{x}{2}} = \frac{2 (2 - x)}{x}

\Rightarrow \frac{O B}{O E} = \frac{4 - x}{x} \Rightarrow O E = \frac{2 x \sqrt{2}}{2 (4 - x)}

Chứng minh tương tự, ta có:

O F = \frac{2 y \sqrt{2}}{2 (4 - y)}

Từ (1) suy ra

\frac{4 x y}{2 (4 - x) (4 - y)} = \frac{2}{3}

\Leftrightarrow 3 x y = (4 - x) (4 - y) \Leftrightarrow (x + 2) (y + 2) = 12

(2)
Ta lại có:

S_{A M C N} = S_{A M C} + S_{A N C} = \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} + \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} = (x + y)

\Rightarrow V_{S . A M C N} = \frac{1}{3} S A . (x + y) = \frac{2}{3} (x + y)

Từ (2) suy ra

V_{S . A M C N} = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

Từ (2) suy ra

y = \frac{12}{x + 2} - 2

Vì N thuộc cạnh AD nên

y \leq 2 \Rightarrow \frac{12}{x + 2} - 2 \leq 2 \Leftrightarrow x \geq 1

\Rightarrow x, y \in [1; 2]

Xét hàm số:

f (x) = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

, với

x \in [1; 2]

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{2}{3} (1 - \frac{12}{{(x + 2)}^{2}}) = \frac{2}{3} . \frac{x^{2} + 4 x - 8}{{(x + 2)}^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 (\sqrt{3} - 1)

Ta lại có:

f (1) = f (2) = 2

,

f (2 (\sqrt{3} - 1)) = \frac{8 (\sqrt{3} - 1)}{3}

.
Giá trị lớn nhất của

V_{S . A M C N} = 2

khi

x = 1, y = 2

hoặc

x = 2, y = 1

.

\Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{2^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (2 x^{3} + x - 1) + m .$ Tìm m để $\max_{[0; 1]} g (x) = - 10.$

A. $m = 3$

B. $m = - 12$

C. $m = - 13$

D. $m = 6$

Xem đáp án » 26/02/2023 3,331

Câu 2:

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M (- 2; 2)$

A. $k = \frac{1}{9}$

B. $k = - 1$

C. $k = \sqrt{2}$

D. $k = 1$

Xem đáp án » 26/02/2023 3,097

Câu 3:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \tan x$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = \frac{4 x + 1}{x + 2}$

Xem đáp án » 26/02/2023 2,299

Câu 4:

Cho hàm số $f (x)$ , bảng biến thiên của hàm số $f^{'} (x)$ như sau

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ là

A. 9

B. 2

C. 3

D. 5

Xem đáp án » 26/02/2023 2,088

Câu 5:

Đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 3 x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = - x^{2} + 2$ có bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án » 26/02/2023 2,086

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m$ có nghiệm $x \in [\frac{π}{2}; π)$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án » 26/02/2023 2,053

Câu 7:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ xác định, liên tục trên R và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(- 2; + \infty)

B. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$

D. Hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

Xem đáp án » 26/02/2023 1,453

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (2 x^{3} + x - 1) + m .$ Tìm m để $\max_{[0; 1]} g (x) = - 10.$

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M (- 2; 2)$

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

Cho hàm số $f (x)$ , bảng biến thiên của hàm số $f^{'} (x)$ như sau

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ là

Đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 3 x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = - x^{2} + 2$ có bao nhiêu điểm chung?

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m$ có nghiệm $x \in [\frac{π}{2}; π)$ ?

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ xác định, liên tục trên R và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.Xét hàm số gx=f2x3+x−1+m. Tìm m để max0;1gx=−10.

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=xx+1 tại điểm M−2; 2

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

Cho hàm số fx, bảng biến thiên của hàm số f'x như sauSố điểm cực trị của hàm số y=fx2+2x là

Đồ thị hàm số y=2x4−3x2 và đồ thị hàm số y=−x2+2 có bao nhiêu điểm chung?

Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2fcosx=m có nghiệm x∈π2;π ?

Cho hàm số fx có đạo hàm f'x xác định, liên tục trên R và có đồ thị f'x như hình vẽ bên dưới.Khẳng định nào sau đây là sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (2 x^{3} + x - 1) + m .$ Tìm m để $\max_{[0; 1]} g (x) = - 10.$

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M (- 2; 2)$

Cho hàm số $f (x)$ , bảng biến thiên của hàm số $f^{'} (x)$ như sau

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ là

Đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 3 x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = - x^{2} + 2$ có bao nhiêu điểm chung?

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m$ có nghiệm $x \in [\frac{π}{2}; π)$ ?

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ xác định, liên tục trên R và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là sai?