Câu hỏi:

26/02/2023 1,202

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, $S A = 2$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ . Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $A B, A D$ sao cho mặt phẳng $(S M C)$ vuông góc với mặt phẳng $(S N C)$ . Tính tổng $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ khi thể tích khối chóp $S . A M C N$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $T = 2$

B. $T = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

C. $T = \frac{5}{4}$

D. $T = \frac{13}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Gọi

E, F

lần lượt là giao điểm của BD với CM và CN. Gọi O là tâm hình vuông

A B C D

.
Theo giả thiết, ta có

B D ⊥ (S A C)

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

\Rightarrow S C ⊥ (H E F)

Vì

(S M C) ⊥ (S N C)

nên

H E ⊥ H F

\Rightarrow Δ H E F

vuông tại H có chiều cao OH.

\Rightarrow O E . O F = O H^{2}

Trong đó:

O H = O C . \sin \hat{S C A} = O C . \frac{S A}{S C} = \frac{2}{\sqrt{6}}

\Rightarrow O E . O F = \frac{2^{2}}{6} = \frac{2}{3}

(1).
Đặt

A M = x, (x > 0)

A N = y, (y > 0)

.
Xét

Δ A B C

, gọi K là trung điểm của AM.
Media VietJack

Khi đó:

O K // C M

\Rightarrow \frac{B E}{O E} = \frac{B M}{M K}

\Rightarrow \frac{O B - O E}{O E} = \frac{2 - x}{\frac{x}{2}} = \frac{2 (2 - x)}{x}

\Rightarrow \frac{O B}{O E} = \frac{4 - x}{x} \Rightarrow O E = \frac{2 x \sqrt{2}}{2 (4 - x)}

Chứng minh tương tự, ta có:

O F = \frac{2 y \sqrt{2}}{2 (4 - y)}

Từ (1) suy ra

\frac{4 x y}{2 (4 - x) (4 - y)} = \frac{2}{3}

\Leftrightarrow 3 x y = (4 - x) (4 - y) \Leftrightarrow (x + 2) (y + 2) = 12

(2)
Ta lại có:

S_{A M C N} = S_{A M C} + S_{A N C} = \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} + \frac{1}{2} A C . A M . \sin 45^{o} = (x + y)

\Rightarrow V_{S . A M C N} = \frac{1}{3} S A . (x + y) = \frac{2}{3} (x + y)

Từ (2) suy ra

V_{S . A M C N} = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

Từ (2) suy ra

y = \frac{12}{x + 2} - 2

Vì N thuộc cạnh AD nên

y \leq 2 \Rightarrow \frac{12}{x + 2} - 2 \leq 2 \Leftrightarrow x \geq 1

\Rightarrow x, y \in [1; 2]

Xét hàm số:

f (x) = \frac{2}{3} (x - 2 + \frac{12}{x + 2})

, với

x \in [1; 2]

Ta có:

f^{'} (x) = \frac{2}{3} (1 - \frac{12}{{(x + 2)}^{2}}) = \frac{2}{3} . \frac{x^{2} + 4 x - 8}{{(x + 2)}^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 (\sqrt{3} - 1)

Ta lại có:

f (1) = f (2) = 2

f (2 (\sqrt{3} - 1)) = \frac{8 (\sqrt{3} - 1)}{3}

.
Giá trị lớn nhất của

V_{S . A M C N} = 2

khi

x = 1, y = 2

hoặc

x = 2, y = 1

\Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{2^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{5}{4}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M (- 2; 2)$

A. $k = \frac{1}{9}$

B. $k = - 1$

C. $k = \sqrt{2}$

D. $k = 1$

Lời giải

Chọn D
Ta có

y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = \frac{x}{x + 1}

tại điểm

M (- 2; 2)

là

k = y^{'} (- 2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}} = 1

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (2 x^{3} + x - 1) + m .$ Tìm m để $\max_{[0; 1]} g (x) = - 10.$

A. $m = 3$

B. $m = - 12$

C. $m = - 13$

D. $m = 6$

Lời giải

Chọn C
Đặt

t (x) = 2 x^{3} + x - 1

với

x \in [0; 1] .

Ta có

t^{'} (x) = 6 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in [0; 1] .

Suy ra hàm số

t (x)

đồng biến nên

x \in [0; 1] \Rightarrow t \in [- 1; 2] .

Từ đồ thị hàm số ta có

\max_{[- 1; 2]} f (t) = 3 \Rightarrow \max_{[- 1; 2]} [f (t) + m] = 3 + m .

Theo yêu cầu bài toán ta cần có:

3 + m = - 10 \Leftrightarrow m = - 13.

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ , bảng biến thiên của hàm số $f^{'} (x)$ như sau

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ là

A. 9

B. 2

C. 3

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \tan x$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = x^{4} + x^{2} + 1$

D. $y = \frac{4 x + 1}{x + 2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\sqrt{2 f (\cos x)}) = m$ có nghiệm $x \in [\frac{π}{2}; π)$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ xác định, liên tục trên R và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên khoảng

(- 2; + \infty)

B. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$

D. Hàm số

y = f (x)

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} - 3 x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = - x^{2} + 2$ có bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử