Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x = 1\). Phương trình \(f\left[ {f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2} \right] = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Lời giải

Chọn B

Ta có \(f'\left( x \right) = 3x - 12x + 9;\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right..\)

Đồ thị:

Từ đồ thị suy ra \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right..\)

Suy ra \(f\left[ {f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2} \right] = 1\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2 = 0}\\{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) - 2 = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2}\\{f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) - 1 = a\left( {0 < a < 1} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = b\left( {1 < b < 3} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = c\left( {3 < c < 4} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = 1}\\{f\left( x \right) - 1 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1 + a}\\{f\left( x \right) = 1 + b}\\{f\left( x \right) = 1 + c}\\{f\left( x \right) = 2}\\{f\left( x \right) = 5.}\end{array}} \right.\)

Khi đó, số nghiệm của phương trình (*) là số nghiệm của 5 trường hợp trên.

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1 + a\) chính là số giao điểm của đường thẳng \(y = 1 + a\) với đồ thị hàm số \(f\left( x \right).\) Mà \(0 < a < 1\) nên dựa vào đồ thị ta có 3 nghiệm.

Tương tự phương trình \(f\left( x \right) = 1 + b\left( {1 < b < 3} \right)\) cũng có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 1 + c\left( {3 < c < 4} \right)\) có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có 3 nghiệm.

Với phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có 2 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm là \(3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14\) nghiệm.