Câu hỏi:

12/07/2024 1,515

Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

a) Tính góc .NMC.

b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.

c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?

d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét DABC vuông tại A có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của DABC.

Suy ra MN // AB nên \(\widehat {NMC} = \widehat B = 60^\circ \).

b) Ta có: E là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của ME.

Lại có N là trung điểm của AC

Do đó tứ giác AECM có hai đường chéo AC, ME cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mặt khác MN // AB và AB ⊥ AC nên MN ⊥ AC tại N.

Khi đó hình bình hành AECM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra hình bình hành AECM là hình thoi.

c) • Ta có E, D đối xứng qua BC

Suy ra CE = CD nên DECD cân tại C

Khi đó đường cao CM đồng thời là đường phân giác của DECD

Suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {BCE}\]

Vì AECM là hình thoi nên CA là tia phân giác của góc ECM

Do đó \[\widehat {BCE} = 2.\widehat {ACB} = 60^\circ \].

Khi đó \[\widehat {BCD} = 60^\circ \].

Ta có \[\widehat {ACD} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \].

Hay CD ⊥ AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB // DC.

• Mặt khác, DABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).

DABC vuông tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\).

Do đó AM = AB.

Lại có AECM là hình thoi nên AM = CE.

Khi đó: AB = AM = CE = CD.

• Xét tứ giác ABDC có AB // CD và AB = CD nên là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABDC là hình chữ nhật.

d) Do ABDC là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC

Do đó M là trung điểm của AD hay A, M, D thẳng hàng.

Để tứ giác AECM là hình vuông thì AD ⊥ BC tại M

Điều này xảy ra khi và chỉ khi DABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, tức là ΔABC vuông cân tại A.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R². Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.

c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: \(OI \bot AC\) nên \(\widehat {OIC} = 90^\circ \)

\(CH \bot AB\) nên \(\widehat {OHC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác CHOI có \[\widehat {OIC} + \widehat {OHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \], mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Do đó tứ giác CHOI nội tiếp.

Suy ra bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên Ax ⊥ AB, do đó \(\widehat {xAB} = 90^\circ \)

Xét tam giác AOM vuông tại A có đường cao AI, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OA² = OI.OM

Mà OA = R (bán kính đường tròn) nên OI.OM = R².

Theo bài, R = 6 cm và OM = 2R

Do đó \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OM}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\).

c) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O), đường kính AB nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó AC ⊥ BC tại C.

Lại có OI ⊥ AC tại I

Suy ra OI // BC nên \(\widehat {AOM} = \widehat {ABC}\)

Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Xét DAMO và DHCB có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Suy ra .

Gọi N là giao điểm của BC và Ax.

Xét DABN có OM // BN và O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của AN.

Do CH // AN, theo hệ quả định lí Talet ta có: \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\)

Do đó \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\), mà AM = MN (do M là trung điểm của AN)

Suy ra HK = KC.

Câu 2

Cho (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.

Xem đáp án

Lời giải

• Để (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û \(m \ne - \frac{1}{2}\).

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)x_A – 2m – 3

Þ \({x_A} = \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}};0} \right)\).

• Để (d₂) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)x_B + m

Þ \({x_B} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\). Suy ra \(B\left( {\frac{{ - m}}{{m - 1}};0} \right)\).

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

\( \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\)

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m² + m – 3 = –2m² – m

Û 4m² + 2m – 3 = 0

Û \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3