Câu hỏi:
12/07/2024 1,301
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét DABC vuông tại A có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của DABC.
Suy ra MN // AB nên \(\widehat {NMC} = \widehat B = 60^\circ \).
b) Ta có: E là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của ME.
Lại có N là trung điểm của AC
Do đó tứ giác AECM có hai đường chéo AC, ME cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.
Mặt khác MN // AB và AB ⊥ AC nên MN ⊥ AC tại N.
Khi đó hình bình hành AECM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra hình bình hành AECM là hình thoi.
c) • Ta có E, D đối xứng qua BC
Suy ra CE = CD nên DECD cân tại C
Khi đó đường cao CM đồng thời là đường phân giác của DECD
Suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {BCE}\]
Vì AECM là hình thoi nên CA là tia phân giác của góc ECM
Do đó \[\widehat {BCE} = 2.\widehat {ACB} = 60^\circ \].
Khi đó \[\widehat {BCD} = 60^\circ \].
Ta có \[\widehat {ACD} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \].
Hay CD ⊥ AC.
Mà AB ⊥ AC nên AB // DC.
• Mặt khác, DABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM nên \(AM = \frac{1}{2}BC\).
DABC vuông tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\).
Do đó AM = AB.
Lại có AECM là hình thoi nên AM = CE.
Khi đó: AB = AM = CE = CD.
• Xét tứ giác ABDC có AB // CD và AB = CD nên là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABDC là hình chữ nhật.
d) Do ABDC là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC
Do đó M là trung điểm của AD hay A, M, D thẳng hàng.
Để tứ giác AECM là hình vuông thì AD ⊥ BC tại M
Điều này xảy ra khi và chỉ khi DABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, tức là ΔABC vuông cân tại A.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
12/07/2024
17,678
Câu 3:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt { - 3x + 8} + x\,\,\,khi\,\,x < 2\\\sqrt {x + 7} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\).
Xem đáp án »
11/07/2024
7,286
Câu 4:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,231
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,045
Câu 6:
Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh \(\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{2.\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,460
Câu 7:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn nằm cùng phía đối với AB), C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng CI = IH.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,555
về câu hỏi!