Câu hỏi:

12/07/2024 7,053

Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh \(\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{2.\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Với a + b = 1 và ab ≠ 0 ta có:

\[\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{a\left( {{a^3} - 1} \right) + b\left( {{b^3} - 1} \right)}}{{\left( {{a^3} - 1} \right).\left( {{b^3} - 1} \right)}} = \frac{{{a^4} + {b^4} - \left( {a + b} \right)}}{{{a^3}{b^3} - \left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 1}}\]

\( = \frac{{\left( {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} - 2{a^2}{b^2}} \right) - 1}}{{{a^3}{b^3} - \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} - 3ab\left( {a + b} \right)} \right] + 1}} = \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} - 1}}{{{a^3}{b^3} - 1 + 3ab + 1}}\)

\[ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]}^2} - 2{a^2}{b^2} - 1}}{{{a^3}{b^3} + 3ab}} = \frac{{1 - 4ab + 4{a^2}{b^2} - 2{a^2}{b^2} - 1}}{{ab\left( {{a^2}{b^2} + 3} \right)}}\]

\( = \frac{{2{a^2}{b^2} - 4ab}}{{ab\left( {{a^2}{b^2} + 3} \right)}} = \frac{{2ab\left( {ab - 2} \right)}}{{ab\left( {{a^2}{b^2} + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: \(OI \bot AC\) nên \(\widehat {OIC} = 90^\circ \)

               \(CH \bot AB\) nên \(\widehat {OHC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác CHOI có \[\widehat {OIC} + \widehat {OHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \], mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Do đó tứ giác CHOI nội tiếp.

Suy ra bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên Ax AB, do đó \(\widehat {xAB} = 90^\circ \)

Xét tam giác AOM vuông tại A có đường cao AI, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OA2 = OI.OM

Mà OA = R (bán kính đường tròn) nên OI.OM = R2.

Theo bài, R = 6 cm và OM = 2R

Do đó \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OM}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\).

c) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O), đường kính AB nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó AC BC tại C.

Lại có OI AC tại I

Suy ra OI // BC nên \(\widehat {AOM} = \widehat {ABC}\)

Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Xét DAMO và DHCB có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Suy ra .

Gọi N là giao điểm của BC và Ax.

Xét DABN có OM // BN và O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của AN.

Do CH // AN, theo hệ quả định lí Talet ta có: \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\)

Do đó \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\), mà AM = MN (do M là trung điểm của AN)

Suy ra HK = KC.

Lời giải

Lời giải

• Để (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d1) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û \(m \ne - \frac{1}{2}\).

Gọi A(xA; 0) là giao điểm của (d1) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)xA – 2m – 3

Þ \({x_A} = \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}};0} \right)\).

• Để (d2) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(xB; 0) là giao điểm của (d2) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)xB + m

Þ \({x_B} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\). Suy ra \(B\left( {\frac{{ - m}}{{m - 1}};0} \right)\).

Để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

\( \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\)

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m2 + m – 3 = –2m2 – m

Û 4m2 + 2m – 3 = 0

Û \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3

Cho hàm số y = 2x2 – 3x – 5 (1). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 4x + m tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) thỏa mãn \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 3{x_1}{x_2} + 7\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP