Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.

a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.

d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.

Lời giải

a) Xét DABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC nên DE là đường trung bình của tam giác

Do đó DE // AB hay DE // AF.

Ta có AB ⊥ AC và DE // AB nên DE ⊥ AC hay \(\widehat {ADE} = 90^\circ \).

Xét tứ giác ADEF có: \(\widehat {FAD} = \widehat {ADE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)

Do đó ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Tứ giác AECG có hai đường chéo AC và GE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo EG ⊥ AC (do DE ⊥ AC)

Do đó AECG là hình thoi.

c) Do ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay O là trung điểm của AE.

Do AECG là hình thoi nên EC // AG và EC = AG

Lại có BE = EC (do E là trung điểm của BC) nên BE = AG.

Xét tứ giác ABEG có BE // AG (do EC // AG) và BE = AG

Do đó ABEG là hình bình hành

Suy ra hai đường chéo AE và BG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của AE nên O là trung điểm của BG

Do đó ba điểm B, O, G thẳng hàng.

d) Do ADEF là hình chữ nhật nên AF = DE.

Mà DE = DG nên DG = AF.

Xét tứ giác AFDG có: DG = AF và DG // AF (do DE // AB)

Do đó AFDG là hình bình hành.

Suy ra AG // DF

Lại có EH ⊥ AG nên EH ⊥ DF

Xét DEHG vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Nên HD = ED = \(\frac{1}{2}EG\).

Khi đó DEDH là tam giác cân tại D

Suy ra đường cao DF của tam giác đồng thời là đường phân giác.

Hay \(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\).

Xét DEDF và DHDF có:

DF là cạnh chung;

\(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\) (chứng minh trên);

ED = HD (chứng minh trên)

Do đó DEDF = DHDF (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {FED} = \widehat {FHD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {FED} = 90^\circ \) (do ADEF là hình chữ nhật)

Do đó \(\widehat {FHD} = 90^\circ \), nên tam giác DHF vuông tại H.