Câu hỏi:

23/03/2023 2,431

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.

a) Chứng minh MA² = MQ.MB.

b) MO cắt AC tại I. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp.

c) Chứng minh: IN vuông góc CH.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Do Q thuộc đường tròn tâm O đường kính AB nên \(\widehat {AQB} = 90^\circ \).

Xét DAMB vuông tại A có AQ là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: MA² = MQ.MB.

b) Do AM, CM là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra M nằm trên đường trung trực của AC.

Lại có OA = OC (cùng bằng bán kính đường tròn (O)) nên O cũng nằm trên đường trung trực của AC.

Do đó OM là đường trung trực của AC nên OM ⊥ AC

Xét tứ giác AIQM có: \(\widehat {AIM} = 90^\circ \) và \(\widehat {AQM} = 90^\circ \)

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh AM dưới một góc bằng 90°

Do đó tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn.

c) Tứ giác AIQM nội tiếp nên \(\widehat {MAI} + \widehat {MQI} = 180^\circ \)

Lại có \(\widehat {NQI} + \widehat {MQI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {MAI} = \widehat {NQI}\).

Ta có: AM ⊥ AB, CH ⊥ AB nên AM // CH

Do đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAC} = \widehat {ACH}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {NQI} = \widehat {ACH}\) hay \(\widehat {NQI} = \widehat {NCI}\)

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh IN dưới một góc bằng nhau

Do đó tứ giác NIQC nội tiếp

Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (hai góc nội tiếp chắn cung CN)

Lại có \(\widehat {CQN} = \widehat {CQB} = \widehat {CAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB của đường tròn (O)).

Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IN // AB

Do CH ⊥ AB và IN // AB nên IN ⊥ CH.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R². Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.

c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: \(OI \bot AC\) nên \(\widehat {OIC} = 90^\circ \)

\(CH \bot AB\) nên \(\widehat {OHC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác CHOI có \[\widehat {OIC} + \widehat {OHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \], mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Do đó tứ giác CHOI nội tiếp.

Suy ra bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên Ax ⊥ AB, do đó \(\widehat {xAB} = 90^\circ \)

Xét tam giác AOM vuông tại A có đường cao AI, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OA² = OI.OM

Mà OA = R (bán kính đường tròn) nên OI.OM = R².

Theo bài, R = 6 cm và OM = 2R

Do đó \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OM}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2} = 3\left( {cm} \right)\).

c) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O), đường kính AB nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó AC ⊥ BC tại C.

Lại có OI ⊥ AC tại I

Suy ra OI // BC nên \(\widehat {AOM} = \widehat {ABC}\)

Hay \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Xét DAMO và DHCB có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM} = \widehat {HBC}\)

Suy ra .

Gọi N là giao điểm của BC và Ax.

Xét DABN có OM // BN và O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của AN.

Do CH // AN, theo hệ quả định lí Talet ta có: \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\)

Do đó \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{KC}}{{MN}}\), mà AM = MN (do M là trung điểm của AN)

Suy ra HK = KC.

Câu 2

Cho (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.

Xem đáp án

Lời giải

• Để (d₁): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d₂): y = (m – 1)x + m cắt nhau thì 2m + 1 ≠ m – 1

Û m ≠ ‒2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì 2m + 1 ≠ 0 Û \(m \ne - \frac{1}{2}\).

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (2m + 1)x_A – 2m – 3

Þ \({x_A} = \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{{2m + 3}}{{2m + 1}};0} \right)\).

• Để (d₂) cắt trục hoành thì m – 1 ≠ 0 Û m ≠ 1.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (m – 1)x_B + m

Þ \({x_B} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\). Suy ra \(B\left( {\frac{{ - m}}{{m - 1}};0} \right)\).

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

\( \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{{2m + 1}} = \frac{{ - m}}{{m - 1}}\)

Þ (2m + 3).(m – 1) = (2m + 1).(‒m)

Û 2m² + m – 3 = –2m² – m

Û 4m² + 2m – 3 = 0

Û \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 3