Câu hỏi:
12/07/2024 241
Cho 3 số dương x, y, x thỏa mãn x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}\).
Cho 3 số dương x, y, x thỏa mãn x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a, b là các số dương.
Với a, b là các số dương ta có:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} - \frac{4}{{a + b}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\)
Û a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0 (do ab(a + b) > 0 với mọi a, b > 0).
Û a2 – 2ab + b2 ≥ 0
Û (a – b)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b > 0)
Vậy bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(P = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} \ge \frac{4}{{yz + xz}} = \frac{4}{{z\left( {y + x} \right)}} = \frac{4}{{z\left( {3 - z} \right)}} = \frac{4}{{3z - {z^2}}}\)
(Do x + y + z = 3 suy ra y + x = 3 – z)
Ta có: 3z – z2 = \(3z - {z^2} = - \left( {{z^2} - 3z} \right) = - {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}\) với mọi z > 0
Do đó \(P \ge \frac{4}{{3z - {z^2}}} \ge \frac{4}{{\frac{9}{4}}} = \frac{{16}}{9}\)
Hay \(P \ge \frac{{16}}{9}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(z - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow z = \frac{3}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\frac{{16}}{9}\) tại \(x + y = z = \frac{3}{2}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
12/07/2024
17,655
Câu 3:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,204
Câu 4:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt { - 3x + 8} + x\,\,\,khi\,\,x < 2\\\sqrt {x + 7} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\).
Xem đáp án »
11/07/2024
7,130
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,821
Câu 6:
Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh \(\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{2.\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,427
Câu 7:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn nằm cùng phía đối với AB), C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng CI = IH.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,491
về câu hỏi!