Câu hỏi:
12/07/2024 1,896
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Do AC, EC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên AC = EC.
BD, ED là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên BD = BE
Do đó AC + BD = EC + BE = CD.
Vậy CD = AC ++ BD.
b) Do E thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)
DABK vuông tại A, có đường cao AE nên theo hệ thức lượng ta có: AE2 = KE.EB.
DAEB vuông tại E, có đường cao EF nên theo hệ thức lượng ta có: AE2 = AF.AB.
Do đó AF.AB = KE.EB.
c) Xét DABC có AC // IF nên theo định lí Talet ta có:\(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\).
Xét DBCD có IE // BD nên theo định lí Talet ta có:\(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}}\).
Lại có CE = AC và ED = BD nên \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\) hay \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AF}}{{FB}}\)
Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta BFD\) có:
\(\widehat {CAF} = \widehat {DBF} = 90^\circ \) và \(\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AF}}{{BF}}\)
Do đó
\( \Rightarrow \widehat {AFC} = \widehat {BFD}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BFD} + \widehat {DFE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CFE} = \widehat {DFE}\) hay FE là phân giác của \(\widehat {CFD}\).
d) Ta có: AC = EC và OA = OE nên OC là đường trung trực của AE.
Lại có AE ⊥ KB nên OC // KB.
Mà O là trung điểm của AB nên C là trung điểm của AK.
Do EF // AK nên \(\frac{{EI}}{{KC}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{CA}}\) (hệ quả định lí Talet)
Mà KC = CA nên EI = IF.
• Tia IM cắt AC tại Q, tia IB cắt BD tại Q.
CP // IF nên \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\) (hệ quả định lí Talet)
PA // IE nên \(\frac{{PA}}{{IE}} = \frac{{MP}}{{MI}}\) (hệ quả định lí Talet)
Suy ra \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{PA}}{{IE}}\left( { = \frac{{MP}}{{MI}}} \right)\), mà EI = IF nên CP = PA hay P là trung điểm của AC.
Tương tự ta cũng chứng minh được Q là trung điểm của BD.
Ta có: IE // BD nên \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\) và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) (so le trong).
Xét DPCI và DQBI có:
\(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) và \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)
Suy ra
Do đó \(\widehat {PIC} = \widehat {QIB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {QIB} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)
Suy ra P, I, Q thẳng hàng hay M, I, N thẳng hàng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
12/07/2024
17,655
Câu 3:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,204
Câu 4:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt { - 3x + 8} + x\,\,\,khi\,\,x < 2\\\sqrt {x + 7} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\).
Xem đáp án »
11/07/2024
7,130
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,821
Câu 6:
Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh \(\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{2.\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,426
Câu 7:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn nằm cùng phía đối với AB), C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng CI = IH.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,491
về câu hỏi!