Cho hai hàm số bậc nhất có đồ thị là (D): y = (5m – 2)x – 3 và (D'): y = –x + 3 – 2m. Tìm m để (D) và (D') cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.

Lời giải

Cách 1.

Để (D) và (D') thì 5m – 2 ≠ –1 Û 5m ≠ 1 \( \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{5}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (D’) là:

(5m – 2)x – 3 = –x + 3 – 2m

Û (5m – 2 + 1)x = 3 – 2m + 3

Û (5m – 1)x = 6 – 2m

\( \Leftrightarrow x = \frac{{6 - 2m}}{{5m - 1}}\) (do \(m \ne \frac{1}{5}\))

Thay \(x = \frac{{6 - 2m}}{{5m - 1}}\) vào phương trình đường thẳng (D’) ta có:

\(y = - \frac{{6 - 2m}}{{5m - 1}} + 3 - 2m\)

\( \Leftrightarrow y = \frac{{2m - 6 + 15m - 3 - 10{m^2} + 2m}}{{5m - 1}}\)

\( \Leftrightarrow y = \frac{{ - 10{m^2} + 19m - 9}}{{5m - 1}}\)

Do đó tọa độ giao điểm của (D) và (D’) là \(\left( {\frac{{6 - 2m}}{{5m - 1}};\frac{{ - 10{m^2} + 19m - 9}}{{5m - 1}}} \right)\).

Để (D) và (D') cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì tung độ của giao điểm bằng 0

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10{m^2} + 19m - 9}}{{5m - 1}} = 0\)

Û –10m² + 19m – 9 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{9}{{10}}\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị m cần tìm là \[m \in \left\{ {1;\frac{9}{{10}}} \right\}\].

Cách 2.

• Để (D) và (D') thì 5m – 2 ≠ –1 Û 5m ≠ 1 \( \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{5}\).

• Để (D) cắt trục hoành thì 5m – 2 ≠ 0 \( \Leftrightarrow m \ne \frac{2}{5}\).

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (D) với trục hoành.

Khi đó 0 = (5m – 2)x_A – 3

\( \Rightarrow {x_A} = \frac{3}{{5m - 2}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{3}{{5m - 2}};0} \right)\).

• Để (D’) cắt trục hoành thì –1 ≠ 0 (luôn đúng ∀m)

Do đó (D’) luôn cắt trục hoành.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (D') với trục hoành.

Khi đó 0 = –x_B + 3 – 2m.

Þ x_B = 3 – 2. Suy ra B(3 – 2m; 0).

• Để (D) và (D’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì A trùng B

Û \(\frac{3}{{5m - 2}} = 3 - 2m\)

Û 15m – 6 – 10m² + 4m = 3

Û –10m² + 19m – 9 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{9}{{10}}\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy giá trị m cần tìm là \[m \in \left\{ {1;\frac{9}{{10}}} \right\}\].