Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M hạ MP vuông góc với AB (P ∈ AB), MQ vuông góc với AC (Q ∈ AC). Gọi R là điểm đối xứng M qua P.

a) Tứ giác AQMP là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác AMBR là hình gì? Vì sao?

c) Để tứ giác AQMP là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R². Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.

c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.

Cho phương trình x² – 2x – 2m² = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 0.

 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.

b) Gọi M là điểm nằm ở giữa B và C. Kẻ MN vuông với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC ) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?

c) Tính số đo góc NHP?

d) Tìm vị trí M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất?