Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M hạ MP vuông góc với AB (P ∈ AB), MQ vuông góc với AC (Q ∈ AC). Gọi R là điểm đối xứng M qua P.

a) Tứ giác AQMP là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác AMBR là hình gì? Vì sao?

c) Để tứ giác AQMP là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?

Lời giải

a) Ta có: tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \)

MP vuông góc AB nên \[\widehat P = 90^\circ \]

MQ vuông góc AC nên \[\widehat Q = 90^\circ \]

Tứ giác AQMP có \[\widehat A = \widehat P = \widehat Q = 90^\circ \] nên là hình chữ nhật.

b) Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \[AM = \frac{1}{2}BC = MB\].

Do đó tam giác AMB cân

Mà MP là đường cao nên đồng thời cũng là đường trung tuyến của tam giác

Suy ra AP = BP.

Xét tứ giác AMBR có: AP = BP; MP = PR (R đối xứng với M qua P)

Do đó AMBR là hình bình hành

Lại có MP vuông góc AB hay MR vuông góc AB

Suy ra AMBR là hình thoi.

c) Để AQMP là hình vuông thì AM là tia phân giác của \(\widehat {QAP}\)

Tam giác ABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.