Không giải phương trình, tìm các nghiệm số của phương trình x³ – 15x² + 71x – 105 = 0, biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.

Lời giải

Giả sử phương trình x³ – 15x² + 71x – 105 = 0 có ba nghiệm tạo thành cấp số cộng:

a – d; a; a + d (với d ≠ 0).

Khi đó ta có: (a – d)³ – 15(a – d)² + 71(a – d) – 105 = 0          (1)

                      a³ – 15a² + 71a – 105 = 0                                    (2)

                      (a + d)³ – 15(a + d)² + 71(a + d) – 105 = 0          (3)

Từ (1) ta có:

a³ – 3a²d + 3ad² – d³ – 15a² + 30ad – 15d² + 71a – 71d – 105 = 0

Þ – 3a²d + 3ad² – d³ + 30ad – 15d² – 71d = 0 (do a³ – 15a² + 71a – 105 = 0) (*)

Tương tự từ (3) ta có: 3a²d + 3ad² + d³ – 30ad – 15d² + 71d = 0 (**)

Cộng (*) với (**) ta được:

6ad² – 30d² = 0 Û 6d²(a – 5) = 0

Vì d ≠ 0 nên ta có a – 5 = 0 Û a = 5.

Vì a = 5 là một nghiệm của phương trình đã cho nên vế trái của phương trình chia hết cho (x – 5).

Do đó theo sơ đồ Horner ta có:

x³ – 15x² + 71x – 105 = 0

Û (x – 5)(x² – 10x + 21) = 0

Û (x – 5)(x² – 10x + 21) = 0

Û (x – 5)(x – 3)(x – 7) = 0

Û x = 3 hoặc x = 5 hoặc x = 7.

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {3;5;7} \right\}\).