Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a = \left( { - 3;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2;6} \right);\)

b) \(\overrightarrow a = \left( {3;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2;4} \right);\)

c) \(\overrightarrow a = \left( { - \sqrt 2 ;1} \right),\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right).\)

Lời giải

a) Với \(\overrightarrow a = \left( { - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;6} \right)\) ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 3} \right).2 + 1.6 = 0\).

\( \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ .\)

b) Với \(\overrightarrow a = \left( {3;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;4} \right)\) ta có:

• \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\)

• \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \);

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\);

\( \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .\)

c) Với \[\overrightarrow a = \left( { - \sqrt 2 ;1} \right)\] và \[\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right)\] ta có:

• \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ;\)

• \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \);

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - \sqrt 2 } \right).2 + 1.\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 3\sqrt 2 \).

 \( \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = - 1\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ .\)