Cho tập X = {1; 2; 3; ....; 8}. Lập từ X số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Chọn C

• Gọi số cần tìm là \(A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} \)

Ta có tổng các chữ số của A là 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 8 = 36 chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Do 9 và 1111 có ƯCLN là 1 nên A chia hết cho 9999.

Đặt \(x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a} ,y = \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} \).

Ta có: \(A = 10000x + y = 9999x + \left( {x + y} \right)\) chia hết cho 9999

Þ x + y chia hết cho 9999

Mà \(0 < x + y < 2.9999 \Rightarrow x + y = 9999\).

• \(x = 1000{a_1} + 100{a_2} + 10{a_3} + {a_4}\); \(y = 1000{b_1} + 100{b_2} + 10{b_3} + {b_4}\).

\( \Rightarrow x + y = 1000\left( {{a_1} + {b_1}} \right) + 100\left( {{a_2} + {b_2}} \right) + 10\left( {{a_3} + {b_3}} \right) + \left( {{a_4} + {b_4}} \right) = 9999\)

\( \Rightarrow {a_1} + {b_1} = {a_2} + {b_2} = {a_3} + {b_3} = {a_4} + {b_4} = 9\)

+ Từ tập X có 4 cặp số (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5) nên có: 8 cách chọn a₁; 6 cách chọn a₂; 4 cách chọn a₃ và 2 cách chọn a₄.

 Vì a_i và b_i tạo thành một cặp để a_i + b_i = 9 nên chọn a_i có luôn b_i­.

Þ Số các số cần tìm là: 8.6.4.2 = 384 số.

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{384}}{{8!}}\).