Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Xác suất để lấy được số chia hết cho 1111 là:

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 8!

Giả sử số tự nhiên \(n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} \) chia hết cho 1111 trong đó a₁,a₂,a₃,a₄,b₁,b₂,b₃,b₄ thuộc {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Ta có: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 \vdots 9\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \vdots 9\\n \vdots 1111\end{array} \right. \Rightarrow n \vdots 9999\)

Đặt \(x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a} ,y = \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} \)

\( \Rightarrow n = 10000x + y = 9999x + \left( {x + y} \right)\)

Mà \(n \vdots 9999\) nên \(\left( {x + y} \right) \vdots 9999\)

Lại có \(0 < x + y < 2.9999 \Rightarrow x + y = 9999\).

Mặt khác, \(x = 1000{a_1} + 100{a_2} + 10{a_3} + {a_4}\) và \(y = 1000{b_1} + 100{b_2} + 10{b_3} + {b_4}\).

\( \Rightarrow x + y = 1000\left( {{a_1} + {b_1}} \right) + 100\left( {{a_2} + {b_2}} \right) + 10\left( {{a_3} + {b_3}} \right) + \left( {{a_4} + {b_4}} \right) = 9999\)

\( \Rightarrow {a_1} + {b_1} = {a_2} + {b_2} = {a_3} + {b_3} = {a_4} + {b_4} = 9\)

Có 4 cặp số có tổng bằng 9 là (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5).

Có cách chọn cặp số trên, mỗi cặp số có 2 hoán vị nên có số chia hết cho 1111.

Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được lấy chia hết cho 1111” .

⇒ n(A) = 4!.2⁴.

Xác suất của biến cố A là \[\frac{{{{4.2}^4}}}{{8!}} = \frac{1}{{105}}\].