Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2xy - 1} \right)^2} + 4{x^2} = 5{y^2}\\2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y\end{array} \right.\).

Lời giải              

Hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2xy - 1} \right)^2} + 4{x^2} = 5{y^2}\,\,\,\left( 1 \right)\\2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{x^2}\left( * \right)\].

Xét phương trình (2):

\[2{x^2} - 2x{y^2} = {y^2} - y\]

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - {y^2} = 2x{y^2} - y\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {\left[ {y\left( {2xy - 1} \right)} \right]^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {y^2}{\left( {2xy - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {y^2}.\left( {5{y^2} - 4{x^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{x^2}{y^2} + {y^4} = 5{y^4} - 4{x^2}{y^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{y^4} = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 0\\x + y = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\left( {do\,\,{x^2} + {y^2} \ge 0,\forall x,y} \right)\\x = - y\\x = y\end{array} \right.\)

• Với \(x = y = 0\) thay vào (*) ta được:

           \[{\left( {2.0.0 - 1} \right)^2} = {5.0^2} - {4.0^2} \Leftrightarrow 1 = 0\] (vô lí)

• Với \(x = - y\) thay vào (*) ta được:

\[{\left[ {2.\left( { - y} \right).y - 1} \right]^2} = 5{y^2} - 4{\left( { - y} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( { - 2{y^2} - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{y^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( { - 2{y^2} - 1} \right)^2} = {y^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{y^2} - 1 = y\\ - 2{y^2} - 1 = - y\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{y^2} - y - 1 = 0\,\,\left( {vn} \right)\\ - 2{y^2} + y - 1 = 0\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.\]

• Với \(x = y\) thay vào (*) ta được:

\[{\left( {2.y.y - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{y^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {2{y^2} - 1} \right)^2} = {y^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 1 = y\\2{y^2} - 1 = - y\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{y^2} - y - 1 = 0\,\,\\2{y^2} + y - 1 = 0\,\,\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) hoặc \[\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Khi y = 1 ta có x = 1;

Khi \(y = - \frac{1}{2}\) ta có \(x = - \frac{1}{2}\);

Khi y = – 1 ta có x = –1;

Khi \(y = \frac{1}{2}\) ta có \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 1; - 1} \right);\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)} \right\}\].