Câu hỏi:
12/07/2024 1,325
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2xy - 1} \right)^2} + 4{x^2} = 5{y^2}\\2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y\end{array} \right.\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2xy - 1} \right)^2} + 4{x^2} = 5{y^2}\,\,\,\left( 1 \right)\\2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2xy - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{x^2}\left( * \right)\].
Xét phương trình (2):
\[2{x^2} - 2x{y^2} = {y^2} - y\]
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - {y^2} = 2x{y^2} - y\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {\left[ {y\left( {2xy - 1} \right)} \right]^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {y^2}{\left( {2xy - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {y^2}.\left( {5{y^2} - 4{x^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{x^2}{y^2} + {y^4} = 5{y^4} - 4{x^2}{y^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{x^4} - 4{y^4} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 0\\x + y = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\left( {do\,\,{x^2} + {y^2} \ge 0,\forall x,y} \right)\\x = - y\\x = y\end{array} \right.\)
• Với \(x = y = 0\) thay vào (*) ta được:
\[{\left( {2.0.0 - 1} \right)^2} = {5.0^2} - {4.0^2} \Leftrightarrow 1 = 0\] (vô lí)
• Với \(x = - y\) thay vào (*) ta được:
\[{\left[ {2.\left( { - y} \right).y - 1} \right]^2} = 5{y^2} - 4{\left( { - y} \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( { - 2{y^2} - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{y^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( { - 2{y^2} - 1} \right)^2} = {y^2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{y^2} - 1 = y\\ - 2{y^2} - 1 = - y\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{y^2} - y - 1 = 0\,\,\left( {vn} \right)\\ - 2{y^2} + y - 1 = 0\,\,\left( {vn} \right)\end{array} \right.\]
• Với \(x = y\) thay vào (*) ta được:
\[{\left( {2.y.y - 1} \right)^2} = 5{y^2} - 4{y^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {2{y^2} - 1} \right)^2} = {y^2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 1 = y\\2{y^2} - 1 = - y\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{y^2} - y - 1 = 0\,\,\\2{y^2} + y - 1 = 0\,\,\end{array} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) hoặc \[\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
Khi y = 1 ta có x = 1;
Khi \(y = - \frac{1}{2}\) ta có \(x = - \frac{1}{2}\);
Khi y = – 1 ta có x = –1;
Khi \(y = \frac{1}{2}\) ta có \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - 1; - 1} \right);\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)} \right\}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho (d1): y = (2m + 1)x – 2m – 3 và (d2): y = (m – 1)x + m. Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
12/07/2024
17,655
Câu 3:
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,204
Câu 4:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt { - 3x + 8} + x\,\,\,khi\,\,x < 2\\\sqrt {x + 7} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\).
Xem đáp án »
11/07/2024
7,130
Câu 5:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,821
Câu 6:
Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh \(\frac{a}{{{b^3} - 1}} + \frac{b}{{{a^3} - 1}} = \frac{{2.\left( {ab - 2} \right)}}{{{a^2}{b^2} + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,427
Câu 7:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn nằm cùng phía đối với AB), C là một điểm thuộc nửa đường tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt Ax tại M. Gọi I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh rằng CI = IH.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,492
về câu hỏi!