Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM và CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB. Phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AG} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên \(\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \).

Mà ABCD là hình bình hành nên \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD} \]

Do đó \(\overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Ta có AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).

Vì G là trọng tâm của tam giác MNB nên ta có:

\(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {AB} \)\( = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).

Suy ra \[\overrightarrow {AG} = \frac{5}{{18}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \].