Chứng minh a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc.

Ta có: (b + c − a)(c + a − b) = c2 − (a − b)2 ≤ c2 (c + a − b)(a + b − c) = a2 − (b − c)2 ≤ a2 (a + b − c)(b + c − a) = b2 − (c − a)2 ≤ b2 Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b − c > 0; b + c − a > 0; c + a − b > 0 ta có: [(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)]2 ≤ (abc)2 Û (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Chứng minh a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì (b + c - a)(c + a

Câu 1

Tìm tất cả các số tự nhiên n thõa mãn 5n + 14 chia hết cho n + 2.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 5n + 14 ⋮ n + 2

5n + 10 + 4 ⋮ n + 2

5(n + 2) + 4 ⋮ n + 2

Vì 5(n + 2) ⋮ n + 2 nên để 5(n + 2) + 4 ⋮ n + 2 thì suy ra:

4 ⋮ n + 2 Þ n + 2 Î Ư(4) = {1; 2; 4; −1; −2; −4}

Þ n Î {−1; 0; 2; −3; −4; −6}

Vậy các số tự nhiên n thỏa mãn là n Î {0; 2}.

Câu 2

Tính: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Đặt \(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\)

\(3S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}\)

\(3S - S = 1 - \frac{1}{{729}}\)

\(2S = \frac{{728}}{{729}}\)

\(S = \frac{{728}}{{729}}:2\)

Vậy \(S = \frac{{364}}{{729}}\)

Câu 3