Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.

a) Chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành.

b) Chứng minh AP = PQ = QC.

c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành.

a) Ta có: ED = \(\frac{1}{2}AD\)

BF = \(\frac{1}{2}BC\)

Mà ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD// BC

Suy ra: ED = BF và ED // BF

Vậy EDFB là hình bình hành.

b) Vì EB // DF nên EP // DQ

Xét tam giác ADQ có:

EP // DQ và E là trung điểm AD nên PE là đường trung bình của tam giác ADQ.

Suy ra: P là trung điểm AQ hay AP = PQ (1)

Xét tam giác BPC có:

FQ // BP và F là trung điểm BC nên FQ là đường trung bình của tam giác BPC.

Suy ra: Q là trung điểm của PC hay PQ = QC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AP = PQ = QC.

c) Do AE // BC nên áp dụng định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{EP}}{{PB}} = \frac{1}{2}\)

Mặt khác R là trung điểm PB nên PR = RB = \(\frac{1}{2}PB\)

Suy ra: EP = PR = RB = \(\frac{1}{2}PB\)

Xét tứ giác ARQE có:

AP = PQ và PE = PR (2 đường chéo AQ, RE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy tứ giác ARQE là hình bình hành.