Tìm Min x4+1y4+1x+y=10với ; x, y > 0.

A=x4+1y4+1 =x4y4+1+x4+y4 ⇔A=x2+y22+x2y2−12 ⇔A=x+y2−2xy2+x2y2−12 ⇔A=10−2xy2+x2y2−12 Đặt t = xy ⇒A=10−2t2+t2−12 ⇔A=t4+2t2−40t+101 Theo BĐT AM– GM: xy≤x+y22=52 do đó t∈0;52 Thấy A=t4+2t2−40t+101=t2−42+10t−22+45 ⇔A=t−22t+22+10+45≥45 Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy A min = 45 ⇔t=2⇔x,y=10−22,10+22 .

Câu hỏi:

13/07/2024 967

Tìm Min $(x^{4} + 1) (y^{4} + 1)$ $x + y = \sqrt{10}$ với ; x, y > 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$A = (x^{4} + 1) (y^{4} + 1)$ $= x^{4} y^{4} + 1 + x^{4} + y^{4}$

$\Leftrightarrow A = {(x^{2} + y^{2})}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {[{(x + y)}^{2} - 2 x y]}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {(10 - 2 x y)}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

Đặt t = xy $\Rightarrow A = {(10 - 2 t)}^{2} + {(t^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101$

Theo BĐT AM– GM: $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{5}{2}$ do đó $t \in (0; \frac{5}{2}]$

Thấy $A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101 = {(t^{2} - 4)}^{2} + 10 {(t - 2)}^{2} + 45$

$\Leftrightarrow A = {(t - 2)}^{2} [{(t + 2)}^{2} + 10] + 45 \geq 45$

Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A min = 45 $\Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow (x, y) = (\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2})$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số :1, 3, 6, 10, 15, 21,... Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

Xem đáp án

Lời giải

Số thứ 1: 1

Số thứ 2: 1 + 2 = 3

Số thứ 3: 1 + 2 + 3 = 6

Số thứ 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Số thứ 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...............

Số thứ 100: 1 + 2 + 3 + 4 +....+ 99 +100

Số các số hạng là: (100 – 1) : 1 + 1 = 100 ( số hạng)

Số cặp là: 100 : 2 = 50 (cặp)

Số thứ 100 là: (100 + 1) × 50 = 5050.

Câu 2

Một chiếc xe đạp giá 400 000 đồng, nay hạ giá 15%. Hỏi giá tiền chiếc xe đạp bây giờ là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Giá tiền hạ là:

400 000 × 15% = 60 000 (đồng)

Giá tiền chiếc xe đạp bây giờ là:

400 000 – 60 000 = 340 000 (đồng)

Đáp số: 340 000 đồng.

Câu 3