Tìm Min x4+1y4+1x+y=10với ; x, y > 0.

A=x4+1y4+1 =x4y4+1+x4+y4 ⇔A=x2+y22+x2y2−12 ⇔A=x+y2−2xy2+x2y2−12 ⇔A=10−2xy2+x2y2−12 Đặt t = xy ⇒A=10−2t2+t2−12 ⇔A=t4+2t2−40t+101 Theo BĐT AM– GM: xy≤x+y22=52 do đó t∈0;52 Thấy A=t4+2t2−40t+101=t2−42+10t−22+45 ⇔A=t−22t+22+10+45≥45 Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy A min = 45 ⇔t=2⇔x,y=10−22,10+22 .

Câu hỏi:

19/08/2025 1,232

Tìm Min $(x^{4} + 1) (y^{4} + 1)$ $x + y = \sqrt{10}$ với ; x, y > 0.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$A = (x^{4} + 1) (y^{4} + 1)$ $= x^{4} y^{4} + 1 + x^{4} + y^{4}$

$\Leftrightarrow A = {(x^{2} + y^{2})}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {[{(x + y)}^{2} - 2 x y]}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {(10 - 2 x y)}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

Đặt t = xy $\Rightarrow A = {(10 - 2 t)}^{2} + {(t^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101$

Theo BĐT AM– GM: $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{5}{2}$ do đó $t \in (0; \frac{5}{2}]$

Thấy $A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101 = {(t^{2} - 4)}^{2} + 10 {(t - 2)}^{2} + 45$

$\Leftrightarrow A = {(t - 2)}^{2} [{(t + 2)}^{2} + 10] + 45 \geq 45$

Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A min = 45 $\Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow (x, y) = (\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2})$ .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số :1, 3, 6, 10, 15, 21,... Tìm số hạng thứ 100 của dãy.

Xem đáp án

Lời giải

Số thứ 1: 1

Số thứ 2: 1 + 2 = 3

Số thứ 3: 1 + 2 + 3 = 6

Số thứ 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Số thứ 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...............

Số thứ 100: 1 + 2 + 3 + 4 +....+ 99 +100

Số các số hạng là: (100 – 1) : 1 + 1 = 100 ( số hạng)

Số cặp là: 100 : 2 = 50 (cặp)

Số thứ 100 là: (100 + 1) × 50 = 5050.

Câu 2

Một hình chữ nhật có chu vi là 56 cm. Chiều dài hơn chiều rộng 12 cm. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Xem đáp án

Lời giải

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

56 : 2 = 28 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

(28 + 12) : 2 = 20 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

28 – 20 = 8 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

20 × 8 = 160 (cm²)

Đáp án: 160 cm².

Câu 3