Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3d3; b5 + c5 + d5 = 3a5 và c7 + d7 + a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d.

Xét 4 trường hợp. Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ⇒ a = b = c = d Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 ⇒ a = b = c = d Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ≥ 3abc ⇒ d3 ≥ abc (1). Từ b5 + c5 + d5 = 3a5 ≥ 3b5c5d53⇒a≥bcd3⇒a3≥bcd (2). Từ c7 + d7 + a7 = 3b7 ⇒3b7≥3c7d7a73⇒b≥cda3⇒b3≥cda (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c3, mà c lớn nhất nên a = b = c = d. Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d Từ a3 + b3 + c3 = 3d3 ⇒ a = b = c = d Vậy ta có a = b = c = d.

Câu hỏi:

25/06/2023 1,503

Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3d³; b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ và c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷. Chứng minh rằng a = b = c = d.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét 4 trường hợp.

Trường hợp 1: a là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ⇒ a = b = c = d

Trường hợp 2: b là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷⇒ a = b = c = d

Trường hợp 3: c là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ≥ 3abc ⇒ d³ ≥ abc (1).

Từ b⁵ + c⁵ + d⁵ = 3a⁵ ≥ $3 \sqrt[3]{b^{5} c^{5} d^{5}} \Rightarrow a \geq \sqrt[3]{b c d} \Rightarrow a^{3} \geq b c d$ (2).

Từ c⁷ + d⁷ + a⁷ = 3b⁷ $\Rightarrow 3 b^{7} \geq 3 \sqrt[3]{c^{7} d^{7} a^{7}} \Rightarrow b \geq \sqrt[3]{c d a} \Rightarrow b^{3} \geq c d a$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra abd ≥ c³, mà c lớn nhất nên a = b = c = d.

Trường hợp 4: d là số lớn nhất trong 4 số a, b, c, d

Từ a³ + b³ + c³ = 3d³ ⇒ a = b = c = d

Vậy ta có a = b = c = d.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một xưởng may đã dùng đến 545 m vải để may quần áo. Trong đó số vải may quần chiếm 40% số vải đó. Hỏi số vải may áo là bao nhiêu mét?

Xem đáp án

Lời giải

Số phần trăm vải chỉ may áo là:

100 – 40 = 60 (%)

Số vải may áo là:

545 × 60 : 100 = 327(m)

Đáp số: 327 m.

Câu 2

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?

Xem đáp án

Lời giải

– Chọn vị trí cho số 0. Vì số 0 phải xuất hiện trong số đó nên ta chọn vị trí cho số 0 trước. Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên ta có 5 vị trí để chọn cho số 0.

– Chọn các vị trí còn lại cho các số còn lại. Ta có 8 số còn lại để chọn (không có số 1), và ta phải chọn 5 số từ 8 số đó. Do đó, ta có $A_{8}^{5}$ cách chọn.

Vậy, số lượng số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 là: 5 . $A_{8}^{5}$ = 33600 (số)

Vậy có 33600 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3