Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng ab+c+bc+a+ca+b≥32.

Ta có VT=ab+c+bc+a+ca+b =ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1−3 =a+b+cb+c+b+c+ac+a+c+a+ba+b−3 =a+b+c1b+c+1c+a+1a+b−3 =12b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b−3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b ≥3b+cc+aa+b3.31b+c.1c+a.1a+b3=9. Khi đó VT=12b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b−3≥12.9−3=32 . Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,211

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $V T = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$

$= \frac{a}{b + c} + 1 + \frac{b}{c + a} + 1 + \frac{c}{a + b} + 1 - 3$

$= \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{b + c + a}{c + a} + \frac{c + a + b}{a + b} - 3$

$= (a + b + c) (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}) - 3$

$= \frac{1}{2} [(b + c) + (c + a) + (a + b)] (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}) - 3$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

$[(b + c) + (c + a) + (a + b)] (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b})$

$\geq 3 \sqrt[3]{(b + c) (c + a) (a + b)} .3 \sqrt[3]{\frac{1}{b + c} . \frac{1}{c + a} . \frac{1}{a + b}} = 9$ .

Khi đó $V T = \frac{1}{2} [(b + c) + (c + a) + (a + b)] (\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}) - 3 \geq \frac{1}{2} .9 - 3 = \frac{3}{2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 10,880

Câu 2:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 8,144

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,611

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,038

Câu 5:

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của $\hat{C H D}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 2,449

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,376

Câu 7:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,334

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của $\hat{C H D}$ .

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng ab+c+bc+a+ca+b≥32.

Nhà sách VIETJACK:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của CHD^ .

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của $\hat{C H D}$ .

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.