Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2009. Tính A = a4 + b4 + c4.

Ta có a + b + c = 0. ⇔ (a + b + c)2 = 0. ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0. ⇔ 2009 + 2(ab + bc + ca) = 0. ⇔ 2(ab + bc + ca) = –2009. ⇔ab+bc+ca=−20092. Ta có ab+bc+ca=−20092 . Suy ra ab+bc+ca2=200924 . ⇔a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+bc2a+a2bc=200924. ⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abcb+c+a=200924. ⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc.0=200924. ⇔a2b2+b2c2+c2a2=200924. Ta có A = a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) =20092−2.200924=20092.1−12=40360812. Vậy A=40360812 .

Câu hỏi:

11/07/2024 2,418

Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 2009.

Tính A = a⁴ + b⁴ + c⁴.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có a + b + c = 0.

⇔ (a + b + c)² = 0.

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2009 + 2(ab + bc + ca) = 0.

⇔ 2(ab + bc + ca) = –2009.

$\Leftrightarrow a b + b c + c a = - \frac{2009}{2}$ .

Ta có $a b + b c + c a = - \frac{2009}{2}$ .

Suy ra ${(a b + b c + c a)}^{2} = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 (a b^{2} c + b c^{2} a + a^{2} b c) = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 a b c (b + c + a) = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 a b c .0 = \frac{2009^{2}}{4}$ .

$\Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = \frac{2009^{2}}{4}$ .

Ta có A = a⁴ + b⁴ + c⁴

= (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²)

$= 2009^{2} - 2. \frac{2009^{2}}{4} = 2009^{2} . (1 - \frac{1}{2}) = \frac{4036081}{2}$ .

Vậy $A = \frac{4036081}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong phép chia có số bị chia là 72, số chia là số kém số bé nhất có hai chữ số 2 đơn vị. Tính thương của hai số đó.

Xem đáp án

Lời giải

Số bé nhất có hai chữ số là: 10.

Số chia là: 10 – 2 = 8.

Thương của hai số đó là: 72 : 8 = 9.

Đáp số: 9.

Câu 2

Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 trường đó là bao nhiêu? Biết rằng số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Xem đáp án

Lời giải

Do số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh nên số học sinh khối 6 của trường đó khi chia cho 12, 15, 18 đều dư 9.

Vì vậy nếu ta bỏ bớt 9 học sinh thì khi xếp hàng 12, 15, 18 đều vừa đủ.

Khi đó số học sinh khối 6 của trường đó là bội chung của 12, 15, 18.

Suy ra số học sinh khối 6 của trường đó là bội của BCNN(12, 15, 18).

Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5; 18 = 2.3².

Suy ra BCNN(12, 15, 18) = 2².3².5 = 180.

Do đó số học sinh khối 6 của trường đó là 180k + 9, với k ∈ ℕ*.

Lại có số học sinh khối 6 của trường đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Tức là, 300 < 180k + 9 < 400.

⇔ 291 < 180k < 391.

$\Leftrightarrow \frac{97}{60} < k < \frac{391}{180}$ .

Mà k ∈ ℕ* nên k = 2.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 180.2 + 9 = 369 (học sinh).

Câu 3