Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 8x³ + 12x² + 6x + 1;

b) 8x³ ‒ 36x²y + 54xy² ‒ 27y³.

Lời giải

a) Ta có: A = 4x² ‒ 4x + 23 = (4x² ‒ 4x + 1) + 22 = (2x ‒ 1)² + 22.

Mà (2x ‒ 1)² ≥ 0 với mọi x

⇒ (2x ‒ 1)² + 22 ≥ 22 với mọi x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 22 khi 2x ‒ 1 = 0 hay \(x = \frac{1}{2}\).

b) Ta có: B = 25x² + y² + 10x ‒ 4y + 2

= (25x² + 10x + 1) + (y² ‒ 4y + 4) ‒ 3

= (5x + 1)² + (y ‒ 2)² ‒ 3.

Mà (5x + 1)² ≥ 0; (y ‒ 2)² ≥ 0 với mọi x và y

⇒ (5x + 1)² + (y ‒ 2)² ‒ 3 ≥ ‒3 với mọi x và y.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là –3 khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{5}\\y = 2\end{array} \right.\).

Lời giải

a) A = (5x + 4)(5x ‒ 4) ‒ (5x + 1)² + 123

= (5x)² – 4² – [(5x)² + 2.5x.1 + 1²] + 123

= 25x² ‒ 16 ‒ 25x² ‒ 10x ‒ 1 + 123

= (25x² ‒ 25x²) – 10x + (‒ 16 ‒ 1 + 123)

= ‒10x + 106

Thay \(x = - 1\) vào A, ta được: A = ‒10 . (–1) + 106 = 10 + 106 = 116.

Vậy giá trị của A tại \(x = - 1\) là A = 116.

b) B = (2x + 1)(4x² ‒ 2x + 1) ‒ 2x(4x² ‒ 5) ‒ 11

= 8x³ ‒ 4x² +2x + 4x² ‒ 2x + 1 ‒ 8x³ +10x ‒ 11

= 10x ‒ 10.

Thay \(x = \frac{1}{4}\) vào B, ta được: \(B = 10.\frac{1}{4} - 10 = \frac{{ - 15}}{2}\).

Vậy giá trị của B tại \(x = \frac{1}{4}\) là \(B = \frac{{ - 15}}{2}\).

c) C = (4x + y)³ ‒ (4x ‒ y)³ ‒ 2y(y² + 48x²) ‒ 22x + 24y

= (4x)³ + 3.(4x)².y + 3.4x.y² + y³ ‒ [(4x)³ – 3.(4x)².y + 3.4x.y² – y³] ‒ 2y³ ‒ 96x²y ‒ 22x + 24y

= (4x)³ + 3.(4x)².y + 3.4x.y² + y³ – (4x)³ + 3.(4x)².y – 3.4x.y² + y³ ‒ 2y³ ‒ 96x²y ‒ 22x + 24y

= 3.(4x)².y + y³ + 3.(4x)².y + y³ ‒ 2y³ ‒ 96x²y ‒ 22x + 24y

= (48x²y + 48x²y ‒ 96x²y) + (y³ + y³ ‒ 2y³) ‒ 22x + 24y

= ‒ 22x + 24y.

Thay \(x = - \frac{1}{{22}};y = - \frac{1}{4}\) vào C, ta được: \(C = - 22.\frac{{ - 1}}{{22}} + 24.\frac{{ - 1}}{4} = - 5\)

Vậy giá trị của C tại \(x = - \frac{1}{{22}};y = - \frac{1}{4}\) là C = –5.