Tính góc C của tam giác ABC biết c4 – 2(a2 + b2)c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 với BC = a, AC = b, AB = c.

Lời giải Ta có: c4 – 2(a2 + b2)c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 ⇔ c4 – 2(a2 + b2)c2 + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = 0 ⇔ c4 – 2(a2 + b2)c2 + (a2 + b2)2 – a2b2 = 0 ⇔ (a2 + b2 – c2)2 – a2b2 = 0 ⇔ (a2 + b2 – c2 – ab)(a2 + b2 – c2 + ab) = 0 ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - {c^2} - ab = 0 {a^2} + {b^2} - {c^2} + ab = 0 end{array} right. ) Áp dụng định lý cosin: Nếu a2 + b2 – c2 – ab = 0 hay a2 + b2 – c2 = ab [{ rm{cosC}} = frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{ rm{a}}b}} = frac{{ab}}{{2{ rm{a}}b}} = frac{1}{2} ] Suy ra ( widehat C = 60^ circ ) Nếu a2 + b2 – c2 + ab = 0 hay a2 + b2 – c2 = –ab [{ rm{cosC}} = frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{ rm{a}}b}} = frac{{ - ab}}{{2{ rm{a}}b}} = frac{{ - 1}}{2} ] Suy ra ( widehat C = 120^ circ ).

Câu hỏi:

13/07/2024 1,698

Tính góc C của tam giác ABC biết c⁴ – 2(a² + b²)c² + a⁴ + a²b² + b⁴ = 0 với BC = a, AC = b, AB = c.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có:

c⁴ – 2(a² + b²)c² + a⁴ + a²b² + b⁴ = 0

⇔ c⁴ – 2(a² + b²)c² + (a⁴ + 2a²b² + b⁴) – a²b² = 0

⇔ c⁴ – 2(a² + b²)c² + (a² + b²)² – a²b² = 0

⇔ (a² + b² – c²)² – a²b² = 0

⇔ (a² + b² – c² – ab)(a² + b² – c² + ab) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - {c^2} - ab = 0\\{a^2} + {b^2} - {c^2} + ab = 0\end{array} \right.\)

Áp dụng định lý cosin:

Nếu a² + b² – c² – ab = 0 hay a² + b² – c² = ab

\[{\rm{cosC}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ab}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \(\widehat C = 60^\circ \)

Nếu a² + b² – c² + ab = 0 hay a² + b² – c² = –ab

\[{\rm{cosC}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ - ab}}{{2{\rm{a}}b}} = \frac{{ - 1}}{2}\]

Suy ra \(\widehat C = 120^\circ \).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh: \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

Media VietJack

Suy ra \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\]

Vậy \[{\rm{cosA + cosB + cosC = 1 + 4}}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\].

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:

a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);

b) BC² = 3AH² + BE² + CF²;

c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB² = BH . BC

AC² = CH . BC

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BH² = BE . BA

Hay \(BE = \frac{{B{H^2}}}{{BA}}\)

Xét tam giác ACH vuông tại H có HF ⊥ AC, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CH² = CF . CA

Hay \(CF = \frac{{C{H^2}}}{{CA}}\)

Ta có: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \left( {\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{{{{\left( {BH.BC} \right)}^2}}}{{{{\left( {CH.BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{C{H^2}}} = \frac{{BE.AB}}{{CF.AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}.\frac{{AB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)

Vậy \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).

b) Xét tứ giác AEHF có \(\widehat {{\rm{EAF}}} = \widehat {HE{\rm{A}}} = \widehat {HF{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Suy ra AEHF là hình chữ nhật

Do đó AH = EF

Xét tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:

Media VietJack

Vậy BC² = 3AH² + BE² + CF²

c) Ta có: \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} \)

Media VietJack

Vậy \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).

Câu 3