Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH, kẻ BK vuông góc AC. Chứng minh:

\(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{4B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\).

Lời giải

a) Vì tam giác ACO vuông tại A

Nên \(\widehat {AOC} + \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Ta có: \(\widehat {AOC} + \widehat {CD{\rm{O}}} + \widehat {DOB} = 180^\circ \)

Hay \(\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {CD{\rm{O}}} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\)

Xét ∆ACO và ∆BDO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

b) Gọi E là giao điểm của CO và BD

Xét ∆ACO và ∆BEO có

\(\widehat {CAO} = \widehat {EBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AO = BO (giả thiết)

\(\widehat {BOE} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆ACO và ∆BEO (g.c.g)

Do đó AC = BE, CO = OE (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆COD và ∆EOD có

OD là cạnh chung;

\(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {EOD}\left( { = 90^\circ } \right)\);

CO = OE (chứng minh trên)

Suy ra ∆COD và ∆EOD (c.g.c)

Do đó CD = DE (hai cạnh tương ứng)

Ta có CD = DE = BD + BE = BD + AC

Vậy CD = AC + BD

c) Ta có AC ⊥ AB và DB ⊥ AB

Suy ra AC // BD

Do đó \(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (hai góc so le trong)

Xét ∆ANC và ∆DNB có

\(\widehat {ANC} = \widehat {BN{\rm{D}}}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {CAN} = \widehat {N{\rm{D}}B}\) (Chứng minh trên)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}}\)

Mà AC = BE nên \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\)

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao

Nên DO là phân giác của \(\widehat {C{\rm{D}}E}\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{CD}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)

Xét ∆MOD và ∆BOD có

\(\widehat {{\rm{DMO}}} = \widehat {DBO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OD là cạnh chung

\(\widehat {{\rm{MD}}O} = \widehat {O{\rm{DB}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó MD = BD, OM = OB

Mà OB = OA nên OM = OA

Xét ∆MOC và ∆AOC có

\(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {CAO}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OC là cạnh chung

OM = OA (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó MC = AC

Khi đó: \(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{DM}}\)

Suy ra MN // AC (định lí Talet đảo)

Vậy MN // AC.