Cho tam giác ABC cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = CN. Kẻ BH ⊥ AC tại H.

a) Chứng minh AH = HC.

b) Chứng minh ∆BAN = ∆BCM.

c) Gọi O là giao điểm của AN và CM. Chứng minh 3 điểm B, O, H thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét tam giác ABC cân tại B có BH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

Do đó AH = CH.

b) Vì tam giác ABC cân tại B nên AB = BC

Ta có: AB = AM + MB; BC = BN + NC

Mà AM = CN (giả thiết) nên BM = BN

Xét ∆BAN và ∆BCM có

BM = BN (chứng minh trên);

Chung góc \(\widehat {ABC}\);

AB = BC (chứng minh trên)

Suy ra ∆BAN = ∆BCM (c.g.c)

c) Vì ∆BAN = ∆BCM (chứng minh câu b)

Nên \(\widehat {BAN} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AMO có

\(\widehat {AM{\rm{O}}} + \widehat {AOM} + \widehat {MAO} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Xét tam giác CNO có

\(\widehat {{\rm{CNO}}} + \widehat {CON} + \widehat {NCO} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà \(\widehat {MAO} = \widehat {NCO},\widehat {MOA} = \widehat {NOC}\)

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {CNO}\)

Xét ∆MOA và ∆NOC có

\(\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {CNO}\) (chứng minh trên);

AM = CN (giả thiết);

\(\widehat {MAO} = \widehat {NCO}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆MOA = ∆NOC (g.c.g)

Do đó OA = OC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BOA và ∆BOC có

OA = OC (chứng minh trên);

\(\widehat {BAO} = \widehat {BCO}\) (chứng minh trên);

BA = BC (chứng minh câu b)

Suy ra ∆BOA = ∆BOC (c.g.c)

Do đó \(\widehat {ABO} = \widehat {CBO}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra BO là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)               (1)

Xét tam giác ABC cân tại B có

BH là đường cao

Suy ra BH là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)               (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm 3 điểm B, O, H thẳng hàng.