Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. (0; π).

B. \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\).

C. \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

D. (‒π; 0).

sinx + cosx = 0

Û cosx = ‒sinx

Û cosx = sin(‒x)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( { - x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {v\^o {\rm{ }}l\'i } \right)\\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) với k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác:

Ta có:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có: 0 ≤ k2π ≤ π

                                              Û 0 ≤ 2k ≤ 1

                                              \( \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{2}\)

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có: \[0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \]

                                               \[ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2} + 2k \le 1\]

                                                \[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}\]

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x \(\left( {x = \frac{\pi }{2}} \right)\) trong trường hợp này.

Vậy phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Đặt \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \). Khi đó ta có phương trình \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({\alpha _1} = \frac{\pi }{4}\) và \({\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}\).

Mà \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \), khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x₁ = 0 và \({x_2} = \frac{\pi }{2}\).

Vậy phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có hai nghiệm trên đoạn [0; π].