Câu hỏi:
13/07/2024 7,762Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) trên đoạn [0; π] là:
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác:
Ta có:
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có: 0 ≤ k2π ≤ π
Û 0 ≤ 2k ≤ 1
\( \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{1}{2}\)
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.
• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có: \[0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \pi \]
\[ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2} + 2k \le 1\]
\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}\]
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x \(\left( {x = \frac{\pi }{2}} \right)\) trong trường hợp này.
Vậy phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có hai nghiệm trên đoạn [0; π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Đặt \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \). Khi đó ta có phương trình \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Xét đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:
![Số nghiệm của phương trình sin (x + pi/4) = căn bậc hai 2 / 2 trên đoạn [0; pi] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/07/blobid7-1689067944.png)
Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({\alpha _1} = \frac{\pi }{4}\) và \({\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}\).
Mà \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \), khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x1 = 0 và \({x_2} = \frac{\pi }{2}\).
Vậy phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có hai nghiệm trên đoạn [0; π].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
A. (0; π).
B. \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\).
C. \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Câu 2:
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.
Câu 4:
Nếu \(\cos a = \frac{1}{4}\) thì cos2a bằng:
A. \(\frac{7}{8}\).
B. \( - \frac{7}{8}\).
C. \(\frac{{15}}{{16}}\).
D. \( - \frac{{15}}{{16}}\).
Câu 5:
Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:
A. 0.
B. \(\frac{3}{5}\).
C. 1.
D. \( - \frac{3}{4}\).
Câu 6:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:
A. y = sinx.
B. y = cosx.
C. y = tanx.
D. y = cotx.
về câu hỏi!