Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (với \(a\) là một số):

a) \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax - ay} \right)}}\) (a ≠ 0);

b) \(\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} - {x^2}}}{{2x + a}}\).

Lời giải

a) Ta có: 15x³y² = 5x³y².3; 10x⁴z³ = 5x³.2xz³; 20y³z = 5y³z.4.

Chọn MTC là: 60x⁴y³z³

Nhân tử phụ của ba mẫu thức 15x³y²; 10x⁴z³; 20y³z lần lượt là: 4xyz³; 6y³; 3x⁴z².

Vậy: \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \frac{{2.4xy{z^3}}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}.6{y^3}}} = \frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{x}{{20{y^3}z}} = \frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\).

b) Ta có: 2x + 6 = 2(x + 3); x² ‒ 9 = (x ‒ 3)(x + 3)

Chọn MTC là: 2(x ‒ 3)(x + 3).

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 2x + 6 và x² ‒ 9 lần lượt là: (x ‒ 3) và 2

Vậy: \(\frac{x}{{2x + 6}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\);

          \(\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\).

c) Ta có: x³ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x² + x + 1) và x² + x + 1 = x² + x + 1

Chọn MTC là: x³ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x² + x + 1)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức x³ ‒ 1 và x² + x + 1 lần lượt là: 1 và x ‒ 1.

Vậy: \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^3} - 1}}\).

d) Ta có: 1 + 2x + x² = (1 + x)²;

               5x² ‒ 5 = 5(x² ‒ 1) = 5(x ‒ 1)(x + 1).

Chọn MTC là: 5(x ‒ 1)(x + 1)²

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 1 + 2x + x² và 5x² ‒ 5 lần lượt là: 5(x ‒ 1) và x + 1.

Vậy: \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \frac{{x.5.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).5.\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{5x\left( {x - 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\frac{3}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{3.\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Lời giải

a) Ta có: x²y³.2 = 2x²y³ và 2x²y².y = 2x²y³ nên x²y³.2 = 2x²y².y

Vậy \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\).

b) Ta có:

(x² ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = x³ ‒ x² ‒ x² + x ‒ 2x + 2 = x³ ‒ 2x² ‒ x + 2

Và (x² ‒ 3x + 2)(x + 1) = x³ + x² ‒ 3x² ‒ 3x + 2x + 2 =  x³ ‒ 2x² ‒ x + 2

Nên (x² ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = (x² ‒ 3x + 2)(x + 1)

Vậy \(\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\).

c) Ta có:

(x + 3)(x² ‒ 3x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27

Và (x³ + 27).1 = x³ + 27

Nên (x² ‒ 3x + 9)(x + 3) = (x³ + 27).1

Vậy \(\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\).