Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \). Chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t² – t³ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂ là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)\).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → L, ta có f(x_n) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → L, ta có f(x_n) → x₀ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\);