Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?

Do ∆ABC vuông cân tại A nên  $\widehat{B}=\widehat{C}=45°$.

Xét ∆GBD vuông tại D và ∆EFC vuông tại E có:

BD = EC;  $\widehat{B}=\widehat{C}$

Do đó ∆GBD = ∆FCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra  $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}$

Mà  $\widehat{B}+\widehat{DGB}=90°$ nên  $\widehat{DGB}=90°-\widehat{B}=90°-45°=45°$

Do đó  $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}=45°$

Suy ra ∆GBD vuông cân tại D và ∆EFC vuông cân tại E.

Vì vậy GD = BD, EF = EC.

Mà  $BD=DE=EC=\frac{1}{3}BC$

Suy ra GD = DE = EF.

Do GD ⊥ BC, EF ⊥ BC nên GD // EF

Tứ giác GDEF có GD // EF, GD = EF nên GDEF là hình chữ nhật.

Lại có GD và DE là hai cạnh kề của hình chữ nhật GDEF bằng nhau nên GDEF là hình vuông.

Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.

• Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.

• Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.

Suy ra  $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (cùng phụ với  $\widehat{MBO}$)

Ta có:  $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=90°$,  $\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=90°$

Suy ra  $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Xét ∆OAM và ∆OBN có:

 $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$; OA = OB;  $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.

Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN

Mà S_OMBN = S_OBM + S_OBN; S_OAB = S_OAM + S_OBM

Suy ra S_OMBN = S_OAB

Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng  $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông.

• Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.

Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng  $\frac{1}{4}\cdot 2^2=1 \left({\text{cm}}^2\right)$.