Chứng minh hình bình hành có hai đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau là một hình thoi.

Do ∆ABC vuông cân tại A nên  $\widehat{B}=\widehat{C}=45°$.

Xét ∆GBD vuông tại D và ∆EFC vuông tại E có:

BD = EC;  $\widehat{B}=\widehat{C}$

Do đó ∆GBD = ∆FCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra  $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}$

Mà  $\widehat{B}+\widehat{DGB}=90°$ nên  $\widehat{DGB}=90°-\widehat{B}=90°-45°=45°$

Do đó  $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}=45°$

Suy ra ∆GBD vuông cân tại D và ∆EFC vuông cân tại E.

Vì vậy GD = BD, EF = EC.

Mà  $BD=DE=EC=\frac{1}{3}BC$

Suy ra GD = DE = EF.

Do GD ⊥ BC, EF ⊥ BC nên GD // EF

Tứ giác GDEF có GD // EF, GD = EF nên GDEF là hình chữ nhật.

Lại có GD và DE là hai cạnh kề của hình chữ nhật GDEF bằng nhau nên GDEF là hình vuông.

Đường thẳng NP ⊥ AM cắt AM ở Q.

Do ABCD là hình vuông nên ND ⊥ AD.

Xét DADN vuông tại D và DAQN vuông tại Q có:

AN là cạnh chung,  $\widehat{NAD}=\widehat{NAQ}$ (do AN là tia phân giác của  $\widehat{DAM}$)

Do đó ∆ADN = ∆AQN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AD = AQ;

Mà AD = AB nên AQ = AB

Xét DAQP vuông tại Q và DABP vuông tại B có:

Cạnh AP chung; AQ = AB

Do đó ∆AQP = ∆ABP (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra  $\widehat{QAP}=\widehat{BAP}$.

Ta có:  $\widehat{BAD}=\widehat{DAN}+\widehat{NAQ}+\widehat{QAP}+\widehat{BAP}$ 

Mà  $\widehat{NAD}=\widehat{NAQ};$  $\widehat{QAP}=\widehat{BAP}$ nên ta có:

Suy ra  $\widehat{NAP}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$