Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.

Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.

• Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.

• Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.

Suy ra  $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (cùng phụ với  $\widehat{MBO}$)

Ta có:  $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=90°$,  $\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=90°$

Suy ra  $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Xét ∆OAM và ∆OBN có:

 $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$; OA = OB;  $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.

Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN

Mà S_OMBN = S_OBM + S_OBN; S_OAB = S_OAM + S_OBM

Suy ra S_OMBN = S_OAB

Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng  $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông.

• Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.

Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng  $\frac{1}{4}\cdot 2^2=1 \left({\text{cm}}^2\right)$.