Tính tổng\(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S_n của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Chứng minh rằng:

a) lim 0 = 0;

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0\).

Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. Từ đó, hãy tính limS_n.

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{5n + 1}}{{2n}}\);

b) \(\lim \frac{{6{n^2} + 8n + 1}}{{5{n^2} + 3}}\);

c) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 5n + 3} }}{{6n + 2}}\);

d) \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)\);

e) \(\lim \frac{{{3^n} + {2^n}}}{{{{4.3}^n}}}\);

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{{3^n}}}\).

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\).

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\), ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}},...\)(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với \({u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.