Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A > 90^\circ \), AB > BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy hai điểm E, F sao cho CE = CF = BC. Trên đường thẳng vuông góc với CD tại C lấy hai điểm P, Q sao cho CP = CQ = CD (Hình 16). Chứng minh:

AC ⊥ EP.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, \(\widehat B = \widehat D\).

Vì AB // CD nên \(\widehat {BKC} = \widehat {DCK} = 90^\circ \) (hai góc so le trong).

Suy ra tam giác BCK vuông tại K. Do đó \(\widehat B + \widehat {BCK} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat B = \widehat D\), suy ra \(\widehat D + \widehat {BCK} = 90^\circ \).

Mặt khác, ta có \(\widehat {ECP} + \widehat {BCK} = \widehat {BCE} = 90^\circ \) nên \(\widehat D = \widehat {ECP}\).

Xét ∆ACD và ∆EPC có:

AD = EC (vì cùng bằng BC); \(\widehat D = \widehat {ECP}\); CD = PC.

Do đó ∆ACD = ∆EPC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {EPC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ACD} + \widehat {PCH} = \widehat {DCP} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 90^\circ \).

Xét tam giác CPH, ta có: \(\widehat {CHP} + \widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CHP} + 90^\circ = 180^\circ \) hay \(\widehat {CHP} = 90^\circ \).

Vậy \(AC \bot EP\).