Câu hỏi:

13/07/2024 11,457

Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi Sn là tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả vật bạn đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limSn.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Gọi (un) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.

Ta có: u1 = 55,8, u2 = \(\frac{1}{{10}}\).u1; u3 = \({\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2}\).u1; ...; un = \({\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\).u1.

Khi đó dãy (un) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 55,8 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) thỏa mãn |q| < 1.

Suy ra \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{55,8}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 62\) (m).

Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

Media VietJack

a)

+) (pn) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A1B1C1, ...

Ta có: p1 = p∆ABC = a + a + a = 3a; p2 = \({p_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2}.\left( {3a} \right) = \frac{1}{2}.{p_1}\); p3 = \({p_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.\left( {3a} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.{p_1}\); ...; \({p_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{p_1}\); ...

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\left( {3a} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {3a} \right) = 0.3a = 0\).

+) (Sn) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A1B1C1, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: S1 = S∆ABC = \(\frac{1}{2}ah\); S2 = \({S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2} = \frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = \frac{1}{4}.{S_1}\); S3 = \({S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.{S_1}\); ...; \({S_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{S_1}\); ...

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{n - 1}}.{S_1}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = 0.\frac{1}{2}ah = 0\).

b) +) Ta có (pn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p1 = 3a và công bội q = \(\frac{1}{2}\) thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

\({P_n} = {p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a\).

+) Ta cũng có (Sn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S1 = \(\frac{1}{2}ah\) và công bội q = \(\frac{1}{4}\) thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

\({S_n} = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{\frac{1}{2}ah}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{3}ah\).

Lời giải

Lời giải

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n}}}{{8 + \frac{5}{n}}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{3{n^3} + 6{n^2} - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = 0\).

c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}} = \lim \frac{{n\sqrt {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {8 - \frac{5}{n}} \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right) = \lim \left( {4 - 2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right) = 4\).

e) \(\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{{{4.5}^n} + {{2.2}^n}}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{4 + 2.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}{6} = \frac{2}{3}\).

g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}} = \lim \left( {2 + \frac{4}{{{n^3}}}} \right).\lim {\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} = 2.0 = 0\).