Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Lời giải

a)

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a; p₂ = \({p_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{1}{2}.\left( {3a} \right) = \frac{1}{2}.{p_1}\); p₃ = \({p_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.\left( {3a} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.{p_1}\); ...; \({p_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{p_1}\); ...

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {p_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\left( {3a} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {3a} \right) = 0.3a = 0\).

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: S₁ = S_∆ABC = \(\frac{1}{2}ah\); S₂ = \({S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2} = \frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = \frac{1}{4}.{S_1}\); S₃ = \({S_{\Delta {A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{2}ah} \right) = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}.{S_1}\); ...; \({S_{\Delta {A_n}{B_n}{C_n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.{S_1}\); ...

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{n - 1}}.{S_1}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{2}ah} \right) = 0.\frac{1}{2}ah = 0\).

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = \(\frac{1}{2}\) thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

\({P_n} = {p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = \frac{{3a}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 6a\).

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = \(\frac{1}{2}ah\) và công bội q = \(\frac{1}{4}\) thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

\({S_n} = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{\frac{1}{2}ah}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{3}ah\).