Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn ∫π4π2cotx⋅fsin2xdx=∫116f(x)xdx=1. Tính tích phân I=∫181f(4x)xdx. A. 52 B. 214 C. 2 D. 1

Chọn A. Đặt t=sin2x⇒dt=2sinxcosxdx. Ta có x=π4⇒t=12;x=π2⇒t=1. Khi đó 1=∫π4π2cotx.fsin2xdx=12∫π4π22sinxcosxsin2x.fsin2xdx=12∫121f(t)tdt=12∫121f(x)xdx ⇒∫121f(x)xdx=2 Đặt u=x⇒2udu=dx⇒dxx=2duu. Ta có x=1⇒u=1;x=16⇒u=4. Khi đó 1=∫116f(x)xdx=∫142f(u)udu=2∫14f(x)xdx⇒∫14f(x)xdx=12. Đặt v=4x⇒dv=4dx. Ta có x=18⇒v=12;x=1⇒v=4. Vậy I=∫181f(4x)xdx=∫181f(4x)4x4dx=∫124f(v)vdv=∫124f(x)xdx=∫121f(x)xdx+∫14f(x)xdx=2+12=52.

Câu hỏi:

06/08/2023 356

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot x \cdot f (\sin^{2} x) dx = \int_{1}^{16} \frac{f (\sqrt{x})}{x} dx = 1$ . Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{8}}^{1} \frac{f (4 x)}{x} d x$ .

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{21}{4}$

C. 2

D. 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 4) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Đặt $t = \sin^{2} x \Rightarrow d t = 2 \sin x \cos x d x$ . Ta có $x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1$ .

Khi đó $1 = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot x . f (\sin^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^{2} x} . f (\sin^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (x)}{x} d x$

$\Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (x)}{x} dx = 2$

Đặt $u = \sqrt{x} \Rightarrow 2 u d u = d x \Rightarrow \frac{d x}{x} = \frac{2 d u}{u}$ . Ta có $x = 1 \Rightarrow u = 1; x = 16 \Rightarrow u = 4$ .

Khi đó $1 = \int_{1}^{16} \frac{f (\sqrt{x})}{x} dx = \int_{1}^{4} \frac{2 f (u)}{u} du = 2 \int_{1}^{4} \frac{f (x)}{x} dx \Rightarrow \int_{1}^{4} \frac{f (x)}{x} dx = \frac{1}{2}$ .

Đặt $v = 4 x \Rightarrow dv = 4 dx$ . Ta có $x = \frac{1}{8} \Rightarrow v = \frac{1}{2}; x = 1 \Rightarrow v = 4$ .

Vậy

I = \int_{\frac{1}{8}}^{1} \frac{f (4 x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{8}}^{1} \frac{f (4 x)}{4 x} 4 d x = \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (v)}{v} d v = \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (x)}{x} d x + \int_{1}^{4} \frac{f (x)}{x} d x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\vec{a} = (- 5; 3; - 1), \vec{b} = (1; 2; 1), \vec{c} = (m; 3; - 1)$ . Giá trị của m sao cho $\vec{a} = [\vec{b}, \vec{c}]$ là

A. m = -1

B. m = -2

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải

Chọn D.

[\vec{b}, \vec{c}] = (- 5; m + 1; 3 - 2 m)

. Ta có:

\vec{a} = [\vec{b}, \vec{c}] \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m + 1 = 3 \\ 3 - 2 m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow m = 2

Câu 2

Cho tích phân $\int_{0}^{1} (x - 2) e^{x} d x = a + b e$ , với $a; b \in ℤ$ . Tính tổng a + b.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: 1

Đặt $\{\begin{array}{l} u = x - 2 \\ d v = e^{x} d x \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} d u = d x \\ v = e^{x} \end{array} \Rightarrow \int_{0}^{1} (x - 2) e^{x} d x = {(x - 2) e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = - e + 2 - {e^{x}|}_{0}^{1} = 3 - 2 e$

Với

a; b \in ℤ \Rightarrow a = 3, b = - 2 \Rightarrow a + b = 1

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(-2;0;1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. $2 x - y - 1 = 0$

B. $- y + 2 z - 3 = 0$

C. $2 x - y + 1 = 0$

D. $y + 2 z - 5 = 0$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Sau Cách mạng tháng Tám năm 1945, quân đội những nước nào dưới đây đã vào nước ta với danh nghĩa quân Đồng minh giải giáp phát xít Nhật?

A. Anh, Pháp.

B. Mĩ, Liên Xô.

C. Pháp, Trung Hoa Dân quốc.

D. Anh, Trung Hoa Dân quốc.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.

A. $\frac{24}{35}$

B. $\frac{144}{245}$

C. $\frac{72}{245}$

D. $\frac{18}{35}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trung tâm A chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em học sinh. Nếu một phòng học có x học sinh thì học phí cho mỗi học sinh là ${(9 - \frac{x}{40})}^{2}$ (nghìn đồng). Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học