Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log3(3x + 3) + x = 2y + 9y?

ĐKXĐ: 3x + 3 > 0 ⇔ x > −1. Ta có: log3(3x + 3) + x = 2y + 9y ⇔ log3[3(x + 1)] + x = 2y + 32y ⇔ log33 + log3(x + 1) + x = 2y + 32y ⇔ log3(x + 1) + x + 1 = 2y + 32y ⇔log3(x + 1) + 3log3(x + 1) = 2y + 32y Xét hàm đặc trưng f(t) = t + 3t ta có f ′(t) = 1 + 3tln3 > 0. ⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên ℝ, do đó ta có log3(x + 1) = 2y ⇔ x + 1 = 32y. Theo bài ra ta có: 0 ≤ x ≤ 2020 ⇔ 0 ≤ 32y – 1 ≤ 2020 ⇔ 1 ≤ 32y ≤ 2020 ⇔ 0 ≤ 2y ≤ log32020 ≈ 6,9 Mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {0; 1; 2; 3}. Ứng với mỗi giá trị của y cho 1 giá trị x tương ứng. Vậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu hỏi:

19/08/2025 6,390

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log₃(3x + 3) + x = 2y + 9^y?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

ĐKXĐ: 3x + 3 > 0 ⇔ x > −1.

Ta có: log₃(3x + 3) + x = 2y + 9^y

⇔ log₃[3(x + 1)] + x = 2y + 3^2y

⇔ log₃3 + log₃(x + 1) + x = 2y + 3^2y

⇔ log₃(x + 1) + x + 1 = 2y + 3^2y

⇔log₃(x + 1) + 3^{log3(x + 1)} = 2y + 3^2y

Xét hàm đặc trưng f(t) = t + 3^t ta có f ′(t) = 1 + 3^tln3 > 0.

⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên ℝ, do đó ta có log₃(x + 1) = 2y

⇔ x + 1 = 3^2y.

Theo bài ra ta có: 0 ≤ x ≤ 2020

⇔ 0 ≤ 3^2y – 1 ≤ 2020

⇔ 1 ≤ 3^2y ≤ 2020

⇔ 0 ≤ 2y ≤ log₃2020 ≈ 6,9

Mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {0; 1; 2; 3}.

Ứng với mỗi giá trị của y cho 1 giá trị x tương ứng.

Vậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

A. \(\frac{8}{{89}}.\)

B. \(\frac{{81}}{{89}}.\)

C. \(\frac{{36}}{{89}}.\)

D. \(\frac{{53}}{{89}}.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) (số).

\(\Omega :\) “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” ⇒ \({n_\Omega } = C_{90}^2\)

A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

· TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 ⇒ Có 9 chữ số là: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

⇒ Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2.\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

⇒ Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

⇒ \({n_A} = 10.C_9^2\)

⇒ \({P_A} = \frac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \frac{8}{{89}}.\)

Câu 2

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.

b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.

Xem đáp án

Lời giải

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C (ảnh 1)

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp ⇒ A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nênAO là đường trung trực của BC.

Do đó AO ⊥ BC tại H.

b) Xét ∆BCD có: H là trung điểm của BC, O là trung điểm của BD

Suy ra OH là đường trung bình của ∆BCD.

Do đó OH // CD hay OA // CD.

Câu 3