Câu hỏi:
13/07/2024 10,239
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) y = \(2\sqrt {\sin x} \) + 1;
c) y = 3 cos2 x + 4 cos2x;
d) y = sin x + cos x.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) y = \(2\sqrt {\sin x} \) + 1;
c) y = 3 cos2 x + 4 cos2x;
d) y = sin x + cos x.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi
|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi
cos x = 0 ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ \(\sqrt {\sin x} \) ≤ 1 nên 0 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) ≤ 2,
do đó 1 ≤ 2\(\sqrt {\sin x} \) + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).
c) Ta có y = 3 cos2 x + 4 cos2x \( = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x\)\( = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x\).
Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),
do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi
cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi
cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).
d) Ta có y = sin x + cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \), với mọi x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] hay \[x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) - Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có t = 8 – 6 = 2. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là
\(S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 \,\,\,\left( m \right)\).
- Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có t = 12 – 6 = 6. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là
\(S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0\,\,\,\left( m \right)\).
Tại thời điểm 12 giờ trưa, Mặt Trời chiếu thẳng đứng từ trên đầu xuống nên toàn bộ toà nhà được chiếu xuống móng của toà nhà.
- Tại thời điểm 2 giờ chiều ta có t = 14 – 6 = 8. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S\left( 8 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\left( m \right)\).
- Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối, ta có t = \(\left( {17 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}\). Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối là
\(S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86\,\,\left( m \right)\).
b) Độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao tòa nhà khi
S(t) = 40 \( \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40 \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) ⇔ t = ±3 + 12k (k ∈ ℤ).
Vì 0 ≤ t ≤ 12 nên t = 3 hoặc t = 9, tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.
c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t → 12, vì vậy \(\frac{\pi }{{12}}t \to \pi \), do đó \(\cos \frac{\pi }{{12}}t \to - \infty \).
Như vậy, bóng của toà nhà sẽ tiến ra vô cùng.
Lời giải
Lời giải
a) Hàm số y = 25 sin 4πt tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2}\).
Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là T = \(\frac{1}{2}\) giây.
b) Vì chu kì dao động của con lắc là T = \(\frac{1}{2}\) giây nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là \(f = \frac{1}{T}\)= 2 Hz.
c) Vì phương trình dao động của con lắc là y = 25 sin 4πt nên biên độ dao động của nó là A = 25 cm. Từ đó suy ra, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A = 50 cm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.